ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.07.2024
Просмотров: 174
Скачиваний: 1
78
08Н +$ |
; 9°и ~ % + f - W * e i - z + W , |
ej=fc+l ^„у-а- +*-8* <&--й,+jr-f«y +*-я^
6?=&+j-M-ft-*****; #»=ь -Н * у -9<~х+&V
0 °= |
+Х' Ы ) 6 °* ^ о - f - W - & + x - M ; |
|
М |
) G:t = b + 4 - W + 9 |
|
о : - 9 7 ; |
e y e ? i |
< % = - е ~ , |
о ; = - 9? > |
Ф % - . |
й Г = < Г ; |
% = < ■ , |
9 i - - e ° ; - |
<D о II
Q ° - Й ° ° |
■ |
v i S ~ ° t S |
) |
р ° |
- О 0 0 - |
G ° r - 9Z |
) б ;2 - в ; у , |
|
&tO ) |
||
в ° |
= д ° ° - |
# = - < £ |
> e « * < . |
|
|
Распространение волн в слое, лежащем на упругом полупространстве
Систему координат выберем так, чтобы ось лась между слоем и полупространством, а Оц тикально вверх. Толщину слоя считаем равной
Ох. помести-^ направим вер h . Тогда
79
свободная поверхность слоя будет |
Граничное условие |
|
рассматриваемой задачи можно формулировать (не повторяя |
||
вышесказанного) тан: |
|
|
U - U 0 , V-^V-°+V09 -(x -№ ) t Y ^ V c S - ( x - S i ) |
j |
|
= |
У =° |
(3*5.1) |
,$ c y 0 > £ =°
где (0) значок сверху означает, что величины относятся к полупространству.
В декартовых координатах ( ) задача сводится к ренению уравнений в перемещениях, описывающих волновой про цесс в слое (уравнение (8.1.2) и в полупространстве:
З У
ICtZ + Chq) ЪхЪу Чи ъу + 4 i 2х1 ~<У 8tz ’
{п 4Г ) Э^ ° |
+ Г 1 1 ° + р |
F V ? р . З У |
» |
|
(tft Сиц)3хд^ |
^ |
g#* ~ ^ gif* |
||
приУ«3,(8.5.2)
где . , Сгг и - упругие константы, a j>° - плотность полупространства.
Решение задачи будет:
u = J t B d i k q y + C ahicqylSLbicCx-'fit) che)
°-о
&=J[B'sh*:M + C'cb к<1у]&!К(Я -Ы )с!к;
U =Tl&cJl К<1У +C'1sh£(}y]§>Lln)C(Z'№-J dK)
0
80
•• V = j [B'&hicqy + C'"&h к({y j ( M i c ( x - Ы ) d к ;
оOo
11°= JоE |
|
|
<Si^ к ( х - Ш ) dx: ', |
|
|
|
|||
|
сьо |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z?°= J F e Kd,fCoSic(x-%i?J(/x:f |
|
|
|
||||||
причем |
d |
|
удовлетворяет квадратному уравнению. |
Под |
|||||
ставляя |
U° |
|
и |
|
'&° |
в уравнение ( З А .2 ), получим: |
|||
(С1г+ Cw)dF~ \C*itdz ~(Сц |
~0 |
,п г м |
|||||||
[ e „ c f - ( c n |
- f n ? ) ] F <(cr, * c „ i J E |
-- о . |
|
|
|||||
Уравнение |
(3 .5 .4 ) |
имеет нетривиальное решение, |
если |
d |
|||||
удовлетворяют |
следующему уравнению: |
|
|
|
|||||
|
|
|
Л |
|
|
|
|
(3 .5 .5 ) |
|
|
И0 с!4 + т Ч г + £° = о, |
|
|
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
--С г |
|
* Ч С „ - у я г) г(Сп-Г*>г), |
|
|
||||
™о--(Ссг+с |
^ |
+ C " ( f W ' C „ ) * c j f V - e u ) . |
|
||||||
Из четырех корней |
(3 .5 .5 ) выберем два таких |
корня,чтобы |
|||||||
Ue(cf) |
< |
|
|
|
что следует из условия затухания |
||||
олн при |
^ |
—* ° о . |
Следовательно, |
|
|
|
|||
U = Z |
J Й ИСА А:?, у - , (?и sb k< l» y ]§ < h ic(x - W |
* J |
|||||||
|
й =J |
|
О |
|
|
|
|
|
|
1л~{ *
|
81 |
с, |
s b z j n f f j M n к f a ~ f i t ) d t |
U = x j I f n b n c k ч у п |
^ ^ Cd^<
V=L)lfn&^k(jhy+fnChk(jny]cak iK-xi)dK
Л=/ 0 |
|
(8 .5 .5 ) |
JL |
J |
к ( я ~ Л {] d k |
Л J |
^ |
|
~1o |
|
|
Я |
°^> |
|
где |
|
|
|
° i . |
С ^ . у ^ - С д , |
|
> я |
d . C Q b - C " ) |
Неизвестные величины Bn,C„ и En определяются ив гра ничных условий (3.5.1). Подставляя (3.5.6) в (3.5.1), после
некоторых преобразований получим при |
^ = |
О: |
|||
Г . &п |
* |
Л |
|
|
(3.5.7) |
П-1 |
|
|
|
|
|
L d n en = ^ ^ F + ¥ ? |
(3 .5 .8 ) |
||||
r\^{ |
|
n ^ i ' n |
п |
*<- |
|
Оп |
п |
= Л |
|
|
(3.5.9) |
Z |
|
|
|
- |
(3.5.10) |
= J l |
|
|
Ef, |
|
|
n=L |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
Л |
|
|
(%~c^n)^n^k‘/^E &n~%)En (3i5im
/? -( /// |
Л-Х |
' |
82
при y= h
z L |
|
<ly,+QCji»+fa fa)](B»ch * p k +C*s h x f y l ) = 0 j |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1*5.12)_ |
|
£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H f y - ^ C B b S h t f a h + C ^ a h z q „ h ) - o ; |
|
|
|||||||
*'* |
|
|
|
|
|
|
|
(3 .5 .13) |
|
2 l |
|
|
|
|
|
|
ц „ h]=o. |
||
И=1 |
|
|
|
|
|
|
|
(3 .5 .14) |
|
Необходимо определить 8 неизвестных коэффициентов из 8 |
|||||||||
уравнений. |
Из |
(3 .5 .8 ), |
(3 .5 .9 ) и (3 .5 .I I ) |
определяем |
выраже |
||||
ния.для |
Ci , |
, |
С-2 |
а из |
(3 .5 .10) |
и |
(3 .5 .7 ) - |
||
выражения |
для |
В± и |
Вг. относительно B3t £ t |
и |
£ г |
||||
Подставляя |
эти |
выражения в уравнения |
(3 .5 .12) |
- |
(3.5.14) |
||||
получим три уравнения |
относительно |
В3 ( Et , |
£ г . |
|
|||||
По известным выражениям |
Вг ( |
и |
Вг |
определяем |
|||||
В„ у Су, а следовательно, получаем решение задачи. Исследуем полученные решения. Для этого предположил,что
скорость распространения возмущений в полупространстве боль ше соответствующих скоростей в слое. Тогда корни уравнения
(3 .2 .6 ) и (3 .5 .4 ) |
будут чисто мнимые, т .е . |
>0, |
После некоторых преобразований решение принимает вид: |
||
U = J ~ - ( y < |
+ (fz + (f3)S L H )c { x - @ tJ c /> c |
, |
о >0 |
|
|
ОС
1У- J' цв (°и % + оСг (/s- ^ °(з tfl)Ce*>lc(x-9№)G( к ]
О
оо
Й + ?2 Чг ) 8 l h k ( Z ' M ) d l C ' >