Файл: Волны в двухкомпонентных средах..pdf

Г л а в а

4

КОНТАКТНЫЕ

ЗАДАЧИ

Плоская задача о сжатии дЕухкомпонентного слоя

Рассмотрим общую плоскую динамическую контактную за­

дачу для

двухкомпонентного

изотропного

слоя /

9 J .

Пусть бесконечный упругий двухкомпонентный слой тол­

щины

И

сдавливается

цилиндрическими

тушми

жесткими

телами

" П и

~Гг .

Уравнения поверхностей тел

Ъ

и 7г

задаются

в виде:

'

(4 . 1Л )

причем

считается,

что

; / г (х )« А

Задачу будем решать в безразмерных переменных. За

размерные

параметры примем скорость продольной

волны Qt

(считается,

что

в { > 0 г

) , толщину

слоя

h .

В безразмерных переменных задача

сводится к опреде­

лению потенциалов

V

У; I <- 1 z)

удовлетворяющих

волновым

уравнениям:

А и>. -

-t—. i. Vi

%

1

УУ ;

Q)o

dT

£

дтг

6do

(4 .1 .2 )

где

Qto

f

Q*. .

p

~JL- -> T

аЛ

Qt

‘

bd°~ Qt

(4 .1 .3 )

(4 .1 .5 )

Начальные условия относительно ^

-нулевые, при­

ния тел с поверхностями

слоя больше

Qt .

В

потенциалах ^

условия

(4 .1 .4 ) - ( 4 . 1 . 5 ) при­

нимают

вид:

(j; _ ^ С/1**4.М г ) ( ~Et )

Ш ( г -

$>1Ег - Йг E-i

Ъх LC

Е ‘>(х)

4t

% Е г -9 )гЕ ,

t**x

(4 .1 .6 )

при

у = О

yu _ _ i U E ii^ s K b z E l

f

if;

Y ,“ Я ^ - 0 г £ ,

{ u (xd x

4 =

Я * Е ъ - & Е г

(4 .1 .7 )

при

- i ,

где

r~ _ Л

~~4г

I/d^Jr

£ < ~ ~ 1 Т ~

Т 1% )

и

? Ы(х) -

координаты точен пересечеаия

тел 7/ и

7г

с поверхностями

слоя.

Задачу

(4 .1 .2 ), (4 .1

.6 ) -

(4 .1 .7 )

будем

решать обоб­

щенным методом

Вольтерра

в пространстве

х , у

, f

и получим:

где Z

ц

Q

- поверхности

в плоскостях у =0

и

пространства (х ,у ,т )

, ограниченные кривыми

по

т = т ю( х )

и

г

~

г

(1}- ( х )

V

соответственно;

ф

чг—ф

л Ф

Г\Ф

- части

и

4 _ ,

t»e

,

G ta,

V ej

2_

п

tjQ

*

7

& , отсекаемые конусами

влияния

о)о№-г;г-сх.~Х/ -<y2i-yf =0 ;

^Ja ( Ъ - ? Г - ( Х о - X

f - ( f c

-

у

Л * ;

) 1 /^ ;

- функции

Вольтерра и равны

т/ ( « й c ( r 0- r ) ± ^ X t 0- t ) z- ( x a- x . r - ^ F

</,с

$ x 0- x

) z + ( у ^ - у ) 2 '

(+ -’I-I0)

где

С -

наяая-либо

из

скоростей;

E (% J - целая часть числа;

п'^,

Н%'

-

чиоло

падающих и отраженных продольных и поперечных волн,

влияю­

щих на

^

и ^

в точке

( x ,t y0j

возмущенной

области

с

течевием

времени

То.

Зная

^

, обобщенные потенциалы

10 ^

легко

оп­

ределить

по формулам:

L =

•

I

,

=

Ч1=г<Г<ЧЛ .

(,.1Л1)

Формулы (4 .1 .8 ),

(4 .1 .9 )

дают

точное

решевие

постав­

ленной

задачи.

Если

й -* оо ,

ю получим решение задачи об ударе тупо­

го тела по двухкомпонентвому полупространству и формулы

(4 .1 .8 )

и

(4 .1 .9 )

Примут

вид:

Ill

Если

тело

Т - жесткое

неподвижное

полупростран­

ство,

то

формулы (4 .£ .8 ), (4 .1

.9 ), где необходимо

оПуо -

титъ

все

квадратуры

по плоским

областям Q^a (

,

дают

ра

)

0

2

-

целое

число.

Для.данной

задачи

в

граничных условиях

(4 .1 .7 ) и ре­

шении

(4 .1 .8 )

-

(4 .1 .9 )

в квадратурах по Q

необходимо

вмеото

переменных х

и

у

писать

($,Ъ )

•,

где

■£ -

ко­

ординаты

вдоль

поверхности

»

п -

нормаль к

ней.

Кроме того, пределы суммирования и ?

, r tf

ограничены

чис­

лом к - i

, а

v^i,

n f — числом К -г,т .в. на

точку

0,г 0)

влияют не более, чем

К

падающих и отраженных

соответ­

ствующих волн, и Ха,

необходимо

в выражениях

для

Ц,о

I ^,8

заменить

на следующие:

Пример.

Пусть тело

~Q - жеоткое неподвижное полу­

пространство;

а

17

-

тупой клин угла полураствора js

и проникает

в

слой с

постоянной скоростью с .

Определим

, %

в

возмущенных областях.

Исходя из формул

(4 .1 .8 )

- (4 .1 .9 ) нетрудно получить:

% ( х 0,^о,Т0) - / ^ (х 0

- Sj %)- hli [x„-CtJcj}+lbijLy+z) ] 1

N j ( x ) - J j

(x +2t■$■)* H[-(x.+2 iSj)b

%(Xo,

Fj№ - C to ty -cTj&) + Fj[*o-Co%tp + Cff

F. l x ) -

D

oo

( x + M / H l - f r + z i d j ) ] ,

d

d i-o

( 4 . 1 .13)