ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.07.2024
Просмотров: 181
Скачиваний: 1
|
122 |
|
|
=■ |
и |
ПРИ |
(4 .4 .7 ) |
|
t |
||
^2В ~ ^ д ~ 0 |
при |
2 ~ + В |
(4 .4 .8 ) |
или |
|
|
|
Uo = We =0 |
при |
i = +h , |
(4 .4 .9 ) |
где Р - параметр Лапласа, черта сверху означает преобразованную по Лапласу функцию.
Общее решение уравнений (4 .4 .6 ) имеет вид:
J |
t |
d |
4Р7/^ |
d |
|
)Ум z)doC |
(4 .4 .10) |
|||
|
|
|
|
|
' |
|||||
где dijid) |
и |
Bjid'] |
- произвольные |
функции |
от |
cL, кото |
||||
рые определяются |
из |
условий |
(4 .4 .7 ), |
(4 .4 .8 ) |
или (4 .4 .7 ), |
|||||
(4 .4 .9 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
выражения |
(4 .4 .10) для |
^ |
|
в_граничные |
|||||
условия (4 .4 .7 ), |
(4 .4 .9 ) |
или |
(4 .4 .7 ), |
(4 .4 .8 ), |
получим: |
|||||
Т 4 щ -В<)№Т?УёГ+ Ш - В г )
©О
(4 .4 .II)
= о ;
(4.4.12)
+вг&’^ ттг)Н (^ ш =0
|
|
123 |
или вместо |
(4 .4 .12) |
|
И ^ ^ Ш |
' ( А ё Млчр',‘! '-В1е ’е ; т '>* |
|
О |
|
|
+ 2 « |
|
i g ^ h'S>*PV1' ') ) x m d « -О', |
^ ! L f ^ r ( A e i^ |
r -Bt e h^ ^ ’) * |
|
|
|
|
(4 .4 .13) |
где |
2,z определяются |
из (2 .1 .8 ). |
|
Определим |
A , B t , A , & i |
из |
выражений ( 4 .4 .II) - |
(4 .4 .1 2 ): |
|
|
|
п&(Р)&Ж-1С°)~Ъ<Псо)1________ . п л ^ А ч Щ ’
Л<_ V
я. |
А (Р)[?,па-Ы -Ук°)1________ .п п 2i>ifc4P'/e\’ |
||
|
™ |
|
■ (4.4.14) |
|
Затем, определяя А , Bt , А >Вг. |
из |
выражений |
( 4 .4 .I I ) , (4 .4 .13) получим: |
|
|
|
f t _________ {<(р][Ы1~>Со)~}н(к\ |
_ . |
q |
|
‘' 4 и г 1 о и 1 ~ е ^ ^ - щ т т ‘ 1'
а ______ /* ^pJtZo (j-ico)- % г»]_______ •
(4.4.15)
g , = I ^ а а т щ '
124
Подставляя (4.4.14) или (4.4.25) в выражения
(4.4.10) для ^ ( г ,2 ,Р ) |
|
получим:__ |
||
оо |
|
г гъкЧР/е' ' |
7 л |
|
Ш 2 Я - С |
.Л т - е |
- |
fc i + р у ^ |
|
№ |
[ |
1 |
||
(4.4.16)
или
ооГaya'Zfpi/.'.’ —/ г ' | п г-+Я/^3 /
a t o |
( . у |
t o v O ? * |
y w |
e __________" Н |
^{br)dcL |
||||||
37 |
о |
|
[ { ~ 4 h^ |
pl/el] )[ d z +P7/e]'' |
|
||||||
|
|
|
(4 .4 .17) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
_ 2n-(i~&)- s’fftp) |
J j |
|
Sjo(-)C0il 1 |
|
|
|
|
|||
^ |
_ |
Д |
& |
|
|
||||||
Квадратуры в выражениях |
(4 .4 .16) |
и |
(4 .4 .17) |
вычис |
|||||||
ляются |
и получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
й . . Ш |
А Т п Н Г р &^ А г - |
ё (^ |
|
/,',ЧТ’ |
|||||||
<57 " |
|
Р |
ЙГ |
/iC |
|
|
|
|
|
|
|
- [е £i^Ap - ё« |
|
|
|
' I |
|
|
|
(4.4.18) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w f _ |
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4 .4 .19) |
Обращая |
выражения |
(4 .4 .18) или |
(4 .4 .19) по |
Р , окон |
|||||||
чательно получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
^ |
- ( |
|
|
|
|
|
|
|
125
л п и'/1
У к р - л
ОО |
|
I------------------------------------------- -----, -, |
-> |
, |
|||||
-JfM -tfH lS -fkuft-zliciD kF |
Jd${ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.4.20) |
или |
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
3 Щ Ы , |
** |
|
|
|
|
|
|
|
|
д г |
т |
к-0 0 |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
<) |
|
|
|
|
|
|
|
‘ f |
f |
w |
- |
s |
M |
S |
- |
- |
|
О О |
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
^ |
z -L?-2(k + £ )h F lc (li i > |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(4 .4.21) |
|
где М( Х) |
- целая |
часть |
числа |
|
|
, |
|
||
Hi'=L^ -4 (r iJ4 . |
|
2 Ъ |
, легко определить |
|
|||||
Зная |
величины |
|
смещения |
||||||
|
по |
формулам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
дг |
дг |
' |
We-fidr |
т0г |
%7 |
• |
|
|
(4.4.22)
Формулы (4 .4 .20) |
И |
(4 |
.4.21) дают решение задачи, |
когда нижнее основание |
или |
жестко скреплено или, соот |
|
ветственно, свободно от |
напряжений. |
||
Г л а в а |
У |
ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ
Дифракция плоской волны на полубесконечном разрезе
Задача о дифракции волн в сплошных сжимаемых средах представляв! большой теоретический и практический инте рес. Основные результаты получены для акустических и уп ругих изотропных сред.
|
Ниже решается двумерная задача дифракции плоской вол |
||||
ны на полубесконечном |
разрезе |
в двухкомпонентной сплошной |
|||
среде |
[ 45 ] . |
|
|
|
|
|
Пусть |
в плоскости |
( х ,^ Ь |
заполненной двухкомпонент |
|
ной упругой изотропной средой, |
сделан |
разрез вдоль луча |
|||
у -О, |
хъ-О, |
края которого закреплены |
или свободны от |
||
напряжений.Рассматривается задача о распространении волн
в |
такой среде, |
причем при t > o |
в среде |
распространяют |
ся лишь плоские |
волны. |
|
|
|
|
Движение частиц в двухкомпонентной среде описывает |
|||
ся |
уравнениями: |
|
|
|
|
|
|
Р) АФг = & $ |
37* |
( р з + Ь ) Д Щ + (//г - Ж ) Д К |
+ Я г |
> |
( 5 . 1 . I)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
128 |
|
|
|
|
где |
|
Д |
- двухмерный |
оператор |
Лапласа. |
|
|
||||||
|
Система уравнений ( 5 . I . I ) приводится |
н системе вол |
|||||||||||
новых уравнений, |
если: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
, |
Фг |
|
|
|
|
|
= |
Щ ^ У г У г , |
|
где |
|
£, |
,&г |
, р |
,Тг |
|
|
" К°РНИ ^Равнений |
|
||||
|
«г2+ л ^ - а , = о , ( Г ^ л ^ - в ^ о , |
|
|
||||||||||
Л _ . р „ с л +*р * - $ - р)-А 1 (а + 2 .* 1 + 4 -р) . |
|
||||||||||||
|
|
3z i( h +2jbl3-^ fP)~ &z(Ai~ >'2jUz + -fyp) |
|
|
|||||||||
о |
_ |
Pit (Ач+2'ju, -t ф-p)~Piz(Ji + 2 Ж |
P) . |
|
|||||||||
|
" |
Я г (Лъ m - |
f p |
) |
-Лг(Лг +2JUZ + f p ) |
’ |
|
||||||
J |
|
|
|
|
|
|
|
. |
g _ |
|
|
--^ ) |
|
|
J2 2 (JKj+Jsj ~$г(^г~~Лг) |
|
JzifjMi'tJs') |
|
|
||||||||
|
Потенциалы |
^ |
|
|
|
продольных и |
% , У'г |
попереч |
|||||
ных волн удовлетворяют |
уравнениям: |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
O': |
d i‘ |
- |
Л ¥ |
* |
Х . Ш |
|
|
|
||
|
|
|
‘ |
a r i |
|
( ' |
Ы г |
|
(5 .1 .2) |
||||
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
где |
скорости |
0^ |
и |
|
|
равны. |
|
|
|
|
|||
qz _ (L + s P i ~ ^ P ) + S j 3 P), |
|
|
|
||||||||||
6 |
|
|
$ a |
- + £ ji: |
|
|
|
|
j~ |
S ti+ Q /< 3 |
|||
|
|
|
|
|
"el |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
задаче |
можно рассматривать |
граничные условия четы- |
|||||||||
рех |
типов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I. |
U x ^ U y |
= W x = W ^ O |
|
Vtjvu |
у - 0 , 3 0 , 0 , |
(5.1.3) |
|||||||
(условия жесткого контакта); |
|
|
|
|
|||||||||
П. |
0^=-Р I |
|
Pi |
|
|
|
|
ь[ш У=о |
5.1.4) |
||||
(стороны разреза |
свободны |
от напряжений); |
|
|
|||||||||