ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.07.2024
Просмотров: 184
Скачиваний: 1
140
Re I W |
(OJ - |
ReftW ^ o(C
^(f< v$tp jo [faFW1 i(9j *g(jut i & jvjeffiFfjgihCz ■
ReIIЫ < и £ рМ ( Р П Ы > иС0V]QJG)+
' fywjOi/0? (Г'$(в)*грЛ^)о{№%№}тСч,
|
|
|
|
|
(5.1.39) |
где C-ti CZi |
C3 , Tv |
- константы интегрирования, и в силу |
|||
|
|
условий (3 .5 .1 7 ),равны |
нулю. |
||
Дифракция продольной водны в случае отсутствия трения |
|||||
Пусть |
на разрез |
XZO |
lj ~ 0 |
падает |
продольная |
волна |
|
|
|
|
|
4i |
|
|
. Щ ' 0 |
* \ ш t - О |
|
(5.1.40)
|
|
ш |
|
|
произвольного |
вида. При |
t У О |
возникает дифракционная |
|
картина такого же вида, как и |
на рис. |
23. |
||
Потенциал |
Wtl-x.yA) |
при |
i > o |
будем Искать в виде: |
1 |
СХ,у,+) = ^ о (х |
,у ,-/Н 4 о (х ,у ,1 ) |
(5.1.42) |
||
причем ^ о |
~ 0 |
при |
{ |
<0. |
|
Граничные условия |
(5.1.14) примут вид: |
|
|||
д(Ъо+{о) 4 Ш _ Ш _ Ш _ л |
|
||||
дц |
д у |
д х |
|
дт |
|
Начальные условия - нулевые, т .е .
[0 W |
= |
ъ%> |
п п |
при |
, |
л |
, |
w - Ш ^ о |
|
||||
|
|
|
|
~ ~ 2t - 0 |
|
1 - 0 |
^ |
|
|||||
при |
1= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.1.43) |
||
Из (5.1.42) и (5.1.43) |
вытекает, |
что |
|
||||||||||
% |
г О |
|
|
при |
|
у = 0 , |
|
X >/0 |
(5.1.44) |
||||
|
9 1 . |
ш |
. 0 |
|
при |
у - О , |
X 7/0 |
|
|||||
ь у ~ |
ъ у ‘ |
Щ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
(5.1.45) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.1.46) |
в возмущенной |
|
области и |
задача сводится к акустической, |
||||||||||
т .е . при граничных условиях (5 .1 .5) |
отражается |
лишь та |
|||||||||||
волна, которая падает. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение данной задачи легко получить обобщенным мето |
|||||||||||||
дом Больтерра: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
№>, |
|
|
JJ" |
Э4 |
|
d x |
d f |
|
|
|||
|
|
|
|
^-гмтс-ту yi |
|
||||||||
(5.1.47)
142
где область - Z 0 показана на рис. 24.
Данную задачу дифракции на жестком разреза при отсут ствии трения легко решить и для разреза конечной длины.
Рис.24.
Сдвиговые волны в полупространстве, состоящем из жестко связанных одно- и двухкоиповеитвых
четвертьпространств
Рассмотрим два жестко связанных между собой упругих четвертьпространства , одно из которых состоит из двухком понентной среды, а другое - лишь из одной компоненты,от личной от двух предыдущих f 6 ] . Если на поверхность такого составного полупространства воздействует касательное напря жение, то имеются перемещения только в направлении его воз действия ( в направлении у смещение есть, а в направлении
Гв смещения отсутствуют).
Вполупространстве, кроме первичных волн, вызванных внешним воздействием, распространяются также вторичные вол ны, возникающие на границе связи вследствие различия физи ческих характеристик компонент.
Основные уравнения динамики двухкомпонентной среды имеют следующий вид
1V3
( л |
* ь № |
* (f* ,- m % |
- ? М |
+л Ш |
> |
|
|
|
(5 .2 .1 ) |
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
% |
- |
обобщенные |
потенциалы поперечных |
волн, |
||||||||||
|
*"V |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а коэффициенты типа |
|
L1 - оператор Лапласа. |
|
|
|
|
|||||||||
|
Уравнения (5 .2 .1) равносильны двум другим: |
|
|
|
|||||||||||
M - l A |
• |
А Ц , _ ± . £ У |
|
|
|
|
|
(5 .2 .2) |
|||||||
&J - C\ д+г ' |
|
|
|
d i l ’ |
|
|
|
|
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г 2 |
_ |
|
|
(,/U-j |
|
|
_ С/^> ^r)V S |
|
|
|
|
. |
|
||
* “ |
|
J / f +^5 |
|
|
|
|
^ |
J ? , |
" |
|
|
|
|
||
n i |
(.fii~b)+lfl(./us +lr) _ |
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|||||
. г ' |
f i t + f i S k |
|
" |
|
. |
Л г + л у ь |
|
Г |
|
|
|
||||
a |
и |
|
<£ |
- корни |
квадратного уравнения, получен |
||||||||||
|
|
|
|
ного |
из |
(5 .2 .1) подстановкой |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
, |
% |
j Uf |
■ |
|
|
|
(5 .2 .3) |
||||
Так как в двухкомпонентной среде в данном случае рас |
|||||||||||||||
пространяются две поперечные |
волны |
|
и |
^ |
|
со |
ско |
||||||||
ростями |
Сt |
и |
Сг , |
то |
общая |
волновая |
картина |
имеет |
|
||||||
вид, |
представленный на рис.25. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Выражения для напряжений через потенциалы |
^ |
и |
Хг |
|||||||||||
имеют |
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) для первой компоненты: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
<к - . / * |
, |
|
|
|
|
> )д?х |
? |
' |
|
|
|
|
||
|
|
|
№ |
м ) дтдг |
|
r ^ m |
|
|
(5.2.4) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис.25.
|
|
|
|
|
145 |
|
|
|
|
|
б) |
для второй |
компоненты: |
|
|
|
|
||
|
|
|
TJrJ3 r g ? |
^ Э г Э 2 |
(5.2.5) |
||||
|
|
|
|
|
|||||
Определяются напряжения, возникающие вдоль границы |
|||||||||
раздела |
четвертьпространств . |
|
|
|
|
||||
|
Пусть на |
поверхности i - o |
воздействуют касательные |
||||||
напряжения |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
- |
г 0 |
Ш |
|
в области |
I, |
||
|
|
г"' =z Ю) |
|
в области |
П, . |
||||
|
|
л3 |
|
|
|
|
|
|
|
где |
Tt |
и |
'С2 |
- |
постоянные. |
|
|
|
|
|
При этом в области (П) возникают перемещения |
|
|||||||
|
|
вщ |
|
|
для |
первой |
компоненты |
|
_ . . |
|
|
|
|
|
(5 .2 .6) |
||||
|
|
аш, |
|
|
для |
второй |
компоненты |
(5 .2 .7) |
|
./ |
' |
Зх |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Если положить, |
что |
|
|
|
|
|||
|
|
_ |
17 |
• |
9 Щ |
1г |
|
|
(5 .2 .8) |
|
|
Эх |
V' |
' |
|
|
|
|
|
, по (5 .2 .2 ): |
|
|
|
|
|
|
|||
|
U у - Oi 4 ^ |
j |
|
|
|
|
(5 .2 .9) |
||
и основные уравнения, описывающие волновые процессы, примут гид:
/_\Уо |
Г, э г |
д |
г |
а ( г ' й 1 г "<1 |
' |
где |
с ; |
- |
. |
|
|
1?0 |
- смещения |
в области I, |
|
||
и |
- приведенные |
смещения в области |
П. |
||
146
Так как волновая картина для различных моментов вре мени характеризуется динамическим подобием, то система
(5.2.10) введением |
новой |
независимой |
переменной |
||
С - Л |
|
|
|
|
( 5 . 2 . II) |
|
|
|
|
|
|
в полярных координатах приводится к виду: |
|||||
с1(,_ J§! 1?.гУ- |
о ь Ж |
\ Ш . |
Ш |
= о , |
|
* У С? ' |
^ |
й / д& |
9вг |
||
|
|
|
|
|
L*Q.i. Z. <5*2 Л 2 > |
причем при & > С; |
с помощью соотношения |
||||
<5 - |
Ci Seed; |
|
|
(5.2.13) |
|
|
|
|
|
|
|
из (5.2.12) получаем гиперболическое уравнение
ТУ; _ эч*
|
doi\ |
Вбг ~ и> |
|
а при |
S <С; |
соотношение |
|
|
S ^ C i& e e h f-jii) |
|
|
дает |
уравнение |
эллиптического |
типа |
|
^1/.- |
эг Ц- |
|
|
d f , |
Ъ9г - О |
|
|
Общим решением (5.2.14) |
являются функции |
|
(5.2.14)
(5.2.15)
(5.2.16)
|
|
( 5 2 - г |
постоянные на характеристиках |
di-Q-CtyvoT |
> |
а для (5.2.16) перемещения |
являются действительной |
|
частью аналитических функций |
|
|
|
J l(j31,9) = Vi (fi;,9) + |
(fi, 9), |
|||
причем имеют место соотношения Коши-Римана |
|||||
Ш |
. Ш |
. |
ЪУс_ |
дФс |
(5.2.19) |
. d fi |
ЭФ ' |
д 9 |
~ 9J>l |
■ |
|