ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.07.2024
Просмотров: 185
Скачиваний: 1
Для определения этих констант:
I)запишем уравнение (5.2.4-0) для областей
|
|
|
ОС (& < |
|
/(г-т\)) |
|
|
|
или |
|
<i |
|
||||||
|
|
|
ОВ ($, < т\ |
/ ( г -m i)) |
|
|
|
или |
|
|
; |
|
||||||
|
|
2) |
выделим действительную и мнимую |
часть получеввых |
||||||||||||||
выражений ( |
|
|
|
|
|
|
), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3) |
выразим ^ , ч е р е з ^ и Д с |
помощью соотношений(5.2.35) к |
|||||||||||||||
(5.2.36}, используя (5 .2 .31) |
и (5 .2 .33), а |
также |
(5.2.19) ж |
|||||||||||||||
(3 .6:.38), получим аналитическоепродолжение® |
|
ДГ-в полупло- |
||||||||||||||||
скости |
% < 0 (.}= 1 ,л ,3 |
) . |
rj |
=v, |
а |
|
могут |
быть |
полу |
|||||||||
|
|
Можно показать, |
что |
|
||||||||||||||
чены интегрированием |
дЛ/с1&' |
|
от |
О |
до |
|
Л- |
вокруг |
||||||||||
&о |
|
|
|
|
и приравниванием |
интегралов |
значению разрыва |
|||||||||||
1?о в |
точке А |
при |
|
|
, |
что |
дает |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
р . _ _ Ж-. 1 о С я й - . |
|
|
|
|
, 5 ? |
||||||||
|
|
|
|
|
*4 |
j |
|
|
уг/0 |
|
|
|
|
|
|
(5.2.41) |
||
|
|
С помощью аналогичных рассуждений для |
J(e |
(Si) |
в точ |
|||||||||||||
ке |
С |
и для |
|
|
|
в точке |
|
В |
|
получаем: |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
« Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 5 . г .42) |
||
|
|
Все неизвестные величины в выражении (5.2.40) опреде |
||||||||||||||||
лены, |
и его |
можно переписать |
так: |
_ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<So |
(5.2.43) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Касательные напряжения в области (I) вдоль ОА опреде |
||||||||||||||||
ляются |
следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
~ |
|
, |
_ |
|
ж / |
|
=л ? .2 £ _ / |
|
= ^ . Ж . ^ £ . = |
|
||||||||
|
|
/г=о ~JU° |
fix |
lx -о |
£ ■ 39 |
Ы-о |
z? |
ЗУ, |
|
|
|
|||||||
|
Замена & и$ (S .2 .3 i)c |
M |
^ |
c |
^ |
a J d i c o |
i / |
' ' |
||||||||||
|
1)<^ а^0 С |
г |
|
|
|
л. |
|
|
|
|
'Cc'Qt |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
<*I |
— J / 2 |
|
|
|
|
152 |
|
|
|
|
|
|
I ) вдоль |
ОС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CcfUpUy |
________ п Ъ 1C,- Ъ ____________ |
y ^ - u 2-' |
|
|
|
|||||
Jrz |
p J r ^ r n j f r ^ + t i f n K |
W |
|
' |
|
^ |
г л 5 ) |
|||
2) |
вдоль |
BA |
( ГУ)Ъ < 4 i i ) |
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
£оТои у ___ f>^;+иг' |
|
{иг-ю}‘ |
||||||
ХУ~ |
Xz |
p-t K]JUI mzd(i-Qz)-(mj-uz){j |
\jiиг' |
|||||||
Co.fUoU у |
|
|
Ju^-yw}' m ] |
fa______ { T ^ |
|
^ |
|
|||
J? |
ic2jia-\ wj (d-и*)-(туиг){}№-т*у |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5 .2 .4 6 ), |
|
3) |
вдоль |
CB |
{ M i < и 4 М г ) |
|
находим |
как |
сумму |
|||
|
|
по |
первым разделам |
главы, |
причем |
из |
первого |
|||
войдет только с индексом 2 из второго |
- только |
часть с ин |
||||||||
дексом I. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из формул можно видеть, что Kpni-r о » |
|
|
любом.?. |
|||||||
Д ля^=0 |
при некотором соотношении |
физических |
параметров ком- |
|||||||
понентТа^О при любом t . |
|
|
|
|
|
|
||||
Напряжения имеют интегрируемые |
особенности |
в точках |
||||||||
А, В, С.
В случае поверхностных нагрузок, изменяющихся как еди ничная функция Хевисайда, искомые напряжения находятся ин
тегрированием |
полученных выражений |
по |
|
||
Что касается напряжений компонент в области П, то они |
|||||
вдоль |
ОА составляют: |
|
|
|
|
|
б'х.^ - 1C |
) 5Гг^- ( i- K ) Ряу . |
(5.2.47) |
||
|
|
|
|
|
|
Ниже приводятся результаты расчетов при следующих ис- |
|||||
ходных |
данных: |
~ 1,17 |
|
|
|
|
|
Е, = 0,206 |
|
||
|
Wt = |
0,48 |
тг = 0,915 |
|
|
|
Q, = |
0,708 |
Qt |
= 0,663 |
|
|
Q, = 0,708 |
Сг |
= 2,45 |
(Рис. 27) |
|
|
Ci = 5,78 |
dz = 0,828 |
|||
|
dt = |
~ 1,23 |
|
|
|
153
Рис.27
154
Пунктирными линиями на графике показаны граничные
значения напряжений компонент области П, |
сумма которых |
||||
равна граничным |
напряжениям области I, показанным сплошной |
||||
линией. |
При и |
О напряжения неограниченно возрастают, что |
|||
соответствует разрыву в величине внешней нагрузки при X = |
|||||
О, 2 |
= О. В точках |
C ( U - m t) и |
В ( и = № г / напряжения |
||
терпят |
разрыв, |
причем |
в точках С |
и В |
знак меняется |
на противоположный. Такая особенность графина объясняемся
различием |
в |
деформациях, |
вызываемых двумя последователь |
||||||
ными сдвиговыми |
волнами, |
возникающими |
в двухкомпонентной |
||||||
среде и различием в свойствах |
материалов. |
% |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Воздействие насательных напряжений на поверхность |
|||||||||
полубесконечной полосы |
|
|
|
|
|
||||
Рассмотрим |
упругий |
полубесконечный слой |
04Х'4.оо. |
||||||
Oi-Z'4 h , |
на поверхность которого |
?'-(? |
воздействует |
||||||
касательное |
напряжение интенсивности |
/<,(■/) |
И({) |
, на |
|||||
правленное параллельно оси |
Возникающие при этом пе |
||||||||
ремещения |
не |
зависят от |
у ' . |
Рассматриваемая |
задача дву |
||||
мерна /"6 |
7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачу |
будем решать |
в предположении |
\)=С, |
|
|||||
а также будем считать, что при |
х = 0 |
полоса |
имеет |
свобод |
|||||
ную поверхность, |
не подверженную воздействию напряжений, |
||||||||
т .е . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5 .3 .1) |
|
В задаче возникают только сдвиговые волны и соответ ствующие им касательные напряжения. Движение среды описыва ется уравнениями (5 .2 .10 ),
где Ci и |
Сг заменены на |
и |
4г . |
Задачу будем решать в безразмерных переменных:
' (5 .3 .3 )'
|
|
|
|
|
155 |
|
|
|
|
При этом |
уравнения |
(5 .5 .2) |
примут вид |
|
|||||
д Ж |
+ Ш |
- |
Ж |
’ |
b i , z . |
(5.3.4) |
|||
9 х * |
|
дг* |
d t ? |
||||||
Перейдем к рассмотрению граничных условий. |
|
||||||||
При |
г = о: |
|
|
|
|
|
|
||
3Vi |
/ |
_ Ы ъ ) . |
дУг |
I |
|
_ 4г(т») |
|
||
|
х |
= о |
JU' 1 |
д г |
|
= |
/V " • |
(5.3 .5) |
|
При |
(на |
свободной |
поверхности) |
напряжения |
|||||
отсутствуют, и поэтому
Ж/ - 0 . ж
ЭХ |
1х=o~U' |
Q x |
при г - |
1 (z' = h) |
(5.3.6) |
рассмотрим два случая: |
I) слой имеет возможность свободно перемещаться то жесткому основанию без трения, Этому соответствуют следующие условия:
3JЛ |
/ |
Ш |
I |
|
д£ |
к-1 |
дг |
12=1 =0 j |
(5.3.7) |
2) слой жестко скреплен с неподвижным основанием,и
тогда
= V z L r ° - |
(5 .3 .8) |
Данную задачу будем решать методом Вольтерра. Необ ходимо учесть, что конус влияния
|
|
( x - x 0f |
(Ъ.Ь.Ч) |
||
|
|
|
|
|
|
отсекает |
от плоскостей |
?=о и g = { |
некоторые площади, |
||
на которых нам неизвестны: |
|
||||
в первом |
случае |
- |
перемещения, |
|
|
во |
втором |
случае |
- |
их производные |
по |
Для того, чтобы воспользоваться формулой Вольтерра, рассмотрим следующие точки:
JUo(Xo, 20 ,^o)
156
J U t [ x 0 l ~ i 0 l to)
JUz (Xo,2-20/ to) |
JU3 ( X o - z + Z o , ^ ) |
JU4(Xo, 2+Za,to) . |
J.h(Xo,-2-2o, to) |
Л б (Х о Л - ? ° Л о ) |
JUz ( X o r ^ +20, to ) |
ИТ.Д.
иточки, симметричные им относительно плоскости %=0.
Для этих точек нетрудно заметить, что функция Вольтерра Шудовлетворяет условиям:
I) при 2 = 0
№,= № |
dWo/дг = - Ш |
/32 |
|
Wt = W3 , |
W z № = - W i № |
||
Wn=Ws |
9 tit, /зг^-9 Ws |
(5.3.10) |
|
|
|
|
|
И т . д . ; |
|
|
|
2) при г - / |
|
|
|
' U /0 = U/Z; |
ЪЪ / 0 № |
^ - Ъ \ & № |
|
U/* = W,, |
d W i / 3 2 |
- " Ж |
/ ^ |
1x4 - lЖ , |
9 W i p i |
- - 2 lM |
/3 2 . (5 .3 .II) |
Аналогичные соотношения имеются и для симметричных точен.
Введем обозначение
157
w / - д,, f a t - f / M \l(to! - ь |г- (Хо~-х)г- & ,j - г ; г '
> i ( 2 o - X ) 2 + ( 2 t j - 2 ) * '
(5.3.12)
Для симметричных точек используем те же обозначения со
штрихом. Тогда |
при |
J? -0 |
можем записать: |
||
1у/ |
= |у/' |
|
|
дх. |
|
^ |
|
|
|
. (5.3.13) |
|
Проведем |
нонусы |
влияния из |
точек JU/p , JUa , |
||
и из симметричных точек. |
Получаются соотношения: |
||||
|
|
|
J |
j |
~ VlitTtf-) d x d t t |
|
|
|
£io~Qio |
|
|
- L |
1 |
|
|
|
|
2$ |
9T:L |
|
|
|
) d ? с / ъ , |
|
Z,0 |
|
|
|
(5 .3 .K ) |
|
|
|
|
|
|
0 sh |
ko JI(V |
^ |
- №**w)<lzdu |
||
|
c - e s |
|
|
|
|
+ |
' f f - W ’M l d e f a |
|
|
|
Z . |
|
(5.3.15) |