Файл: Волны в двухкомпонентных средах..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.07.2024

Просмотров: 186

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

147

 

 

 

В области

I «а свободной

поверхности имеем:

 

 

 

Ж

 

 

C

’=fc-

f r * * "

( 5.2.20)

а в области П

напряжения номпонент у поверхности имеют

следующие значения:

 

 

 

для первой

компоненты

 

 

 

 

 

 

 

(5.2.21)

для второй

компоненты

 

 

 

= ( / - « ; 2 ^ ' = ( i - t e )

,

где

(5.2.22)

)С - коэффициент пористости двухномповевтной среды Подставив (5.2.9) в (5 .2 .7) и (5 .2 .6) и применяя поду­

ченные выражения в системе (5 .2 .4) - (5 .2 .5) приу=<? при­ ходим к двум уравнениям, из которых получаем:

Ц г = ^ % W

;

 

 

,

(5.2.23)

где ICt и

Сг определяется

решением полученной системы

относительно

производных

 

 

, З Щ / \

л

Обозначим через

ЫН

па1

*

^

и

Иг ^

приведенные напряжения

дьухкомпонентной среды, соответствующие разделенным потен­

циалам V/

и Уг

 

 

 

Получается:

 

 

 

p^ v ”' f f

Vй'ъ ъ W

(5.2.24)

 

 

 

 

(5.2.25)

Впереди

ф онта

Л »

перемещение £3,

вь|>ажается,

как известно,

следующим образом:

 

% (гД) -- -

 

•И (■* ~ г/сс).

(5.2.26)

где H(S)~ единичная функция Хевисайда.

Для

и

можем записать с учетом (5 .2 .24);

(5.2.25)

 

 

Vifc i) = ~C, ICi НЫ-2/Ci) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.2.27)

Эти

соотношения справедливы для 1?/ впереди

фронта

для

^

-

впереди фронта

FB.

 

 

ОА дают

Далее условия непрерывности смещений вдоль

I)

//у'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.2.28)

2)

Ц

=

 

О

 

 

 

 

 

 

 

(5.2.29)

Из 1(5.2.28)

по лучаем при

X = О

 

 

 

ЗУ/

. „

 

3V.

Ж

 

t

/гл

^ Vo

 

(5.2.30)

 

V

-

F

1

д-Х

 

Kzfo

Зх

 

 

 

 

■

 

 

 

 

 

 

 

 

или эм

, 9 V .

 

Ж

-

Г Ы М

 

 

 

30

 

 

 

 

90

 

г " г 9 в

 

 

(5.2.31)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подстановка (5 .2 .9) в

(5.2.29)

приводит

к

двум урав­

нениям, из которых:

 

 

 

 

 

 

 

 

V i =

 

 

1/. - 1, К

V,

 

t-Si

l/0

 

(5.2.32)

Поэтому вдоль OA можно записать:

 

 

Э Vf

n

Э Vo

 

2 Уг

_ Q ЭК.

 

 

 

 

dS

 

й

 

 

3S

 

 

 

 

 

 

(5.2.33)

Поскольку

В Областях

 

“SС ^

И

И В А

функции

и c

)

соответственно,

исчезают, то

 

 

 

149

 

Для i - i

эго справедливо вдоль АС, для 1-г -вдоль

АВ. Используя

(5 .2 .33), (5.2.31)

и (5 .2 .19), перепишем

(5.2.34)

 

 

пЭК - V '

d

d

i

-

у „I

 

9s

Jdj

 

* 1Э&

K[r°d9

 

 

 

 

9J><>

d 8

 

(5.2.35)

Производные

 

 

и

d d ,■

 

могут

быть

найдены из

(5.2.15)

и (5 .2 .13).

J

 

 

 

 

 

 

 

Кроме того, введем обозначения:

 

 

 

Со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда (5.2.35) может

быть переписано в следующей

форме:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sj ( 5?- С)-

 

I

d S-J

-

О ;

 

(5.2.36)

 

 

 

 

 

 

что справедливо

вдоль

АС

при

J - у

 

и вдоль

АВ

при </=2 .

Данную задачу будем решать с помощью конформного преоб­

разования

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

% ‘ I

+ L % - § e c h k ( f j ■h c 9 i ] ) <j=ol J,z. (5.2.37)

При

9 - 0

уравнение

 

(5.2.37) переходит в

 

 

Si * $ r s V t e c y s v ,

 

 

 

(5.2.38)

а условие

(5.2.36)

приобретает ш д:

 

 

 

 

 

 

£i

IUz~

)~

 

 

- о

 

 

 

]х/г *ds ^

 

(5.2.39)

( i - i , г ) .

150

 

Используя принцип аналитического продолжения (в полу­

плоскость),

выпишем в явном виде

функцию:

 

 

 

 

 

 

+ M /S o )[& (2 +i r A ) - r r f \ ] ^

 

(5 .2 Л 0)

ГДе

r

fc \

г°

*>s(t -So),,l~ 'd S o ( r - ^ ) ~

т } У \

 

 

 

 

bjP ol-

j / i r c )

т Ц 1 -& .)+ Ш 2 ~ т Ъ .-т $ ]^

 

 

 

 

 

 

 

 

' V

 

 

ho(2-*r>))-y»)

 

 

 

 

Выражение

(5.2.40)

получено,

исходя из требований

ин­

тегрируемости

напряжений

и постоянства

смещений

V0 ,

Vt

 

и

Уг

вдоль

ЛЪ,

£ Т

и

FM

(соответственно),

а

неиз­

вестные

новстангы

 

и

Р-

соответствуют

полюсам функ­

ций

dJC j/dS

 

( j =

0 ' , J , Z )

в точках

А, В, С

(рис. 26).

рис .26.

Смотрите также файлы