ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.07.2024
Просмотров: 187
Скачиваний: 1
|
|
158 |
0= г л |
|
~ Wti^h )dxd‘?( |
|
9 |
$ оbo'tto |
+
Я&Ъ0
(5.3.16)
9 J h v ^ - w L ^ d - z d t c
дГю
(5.3.17)
и т . д . , до тех пор, пока площади, отсекаемые от поверхно стей Z = 0 и £ = I, не обратятся в нуль. Здесь приняты следующие обозначения:
-ч |
- |
площади отсекаемые от поверхности X = 0; |
||||
£. • и ()°j |
- |
площади, |
отсекаемые |
конусами влияния |
с |
|
|
|
взаимно симметричными точками от поверх |
||||
|
|
ности |
2 = 0; |
|
|
|
Оц и Q°ij |
- |
площади, |
отсекаемые |
теми же конусами от |
||
|
|
поверхности |
2 = 1 . |
Симметрия точек |
под |
|
|
|
разумевается |
относительно X = 0. |
|
||
Складывая или вычитая полученные соотношения с учетон граничных условий и свойств функции Волыерра, получим решение задачи
для первого случая
д |
м |
Iк (Х о ,ъ 01?£о)= jp |
d x d i L + |
4~° °и
159
+L $ i ( b W d t i l
л».
s
|
|
|
|
|
|
(5.3.18) |
|
|
для |
второго случая |
|
||
|
|
Hi |
г /dill |
|
|
|
|
|
d |
|
|
<41 |
|
+Лщ!21б(ш*с1ъ-]. |
|
|||||
с». |
* |
|
|
|
|
(5.3.19) |
b ‘d |
|
|
|
|
|
|
Здесь |
И; |
- число |
волн, |
отраженных от поверхности |
||
£ = 0 к моменту |
Тс - |
Т о |
, |
|
||
|
JU{ |
- |
' |
|
при |
i ^ i |
|
JU; - JU" |
|
|
у при |
i - 2 |
|
E ( f ) - целая часть числа
Теперь изменим граничные условия задачи. Будем счи - тать, что рассматриваемый слой имеет неподвижную границу при X = 0, т .е .
Vi|г.|Г V,Uo=0.
(5.3.20)
|
|
|
|
|
160 |
|
|
При |
Z |
= I будем |
рассматривать |
те же 2 условия, чад |
|
и |
ранее - |
см. |
(5 .3 .5 ) и |
(3 .7 |
.7 ) . Для видоизмененной задачи |
|
по |
методу |
Вольтерра получаем |
следующие |
результаты: |
||
в первом случае
Vi1х.,Чф,-уф ф ф Ч - Ш W.VА(ЪHtr-df,-
- J l W i J i f r l c h d t ] - ,
(5.3.21)
«д
во втором случаеIЧ
|
|
|
|
|
^ |
s |
^ |
(~l) |
|
|
|
|
|
|
Vifco/ZoXio)- xjjj: |
|
21 |
|
|
|
|
||||||
|
{ Л К у Ш Ш т - Л Wly I M d |
|
|
|
|
||||||||
|
fy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.3.22) |
|
|
Таким образом, для всех рассмотренных случаев получе |
||||||||||||
но |
точное |
решение |
задачи |
в перемещениях |
V/ |
и |
1/г . |
||||||
Зная |
V< |
и Уг |
|
можно |
найти |
перемещения по |
компонентам |
||||||
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uy'-V^Vz |
|
Ц ^ Л |
ЧгУг . |
|
|
||||||
|
Если положить |
4 о (0 |
- Рс |
- Gyn-st |
|
, |
то, |
перехо |
|||||
дя |
к переменным |
l'X\ Z |
\ i ) |
и отбрасывая штрихи, |
получим |
||||||||
следующие |
результаты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
при |
свободных поверхностях |
X |
= 0 |
и |
% = h |
|
|
|||||
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
- ц ) , |
( 5 . з . г з ) |
||
2 ) при |
свободной |
поверхности |
X |
= 0 и |
неподвижной поверхности |
||||||||
|
% - h - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f- |
0 |
|
^ Ш - г , , )Н Ш - V ; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(5.3.24)
3)при неподвижной поверхности X = О и свободной поверхности 2 ~ h
ro |
Vz |
L |
- |
j-o r |
|
(5.3.25) |
|
(выражение для |
дано |
виже); |
|
4) при неподвижных поверхностях X = 0 |
и X =Л |
||
(5.3.26)
где
\ r Z k l - Z ^ +
\ |
l |
\ |
ч / W ~ 2 \ T |
+ 2 Zz/ ? c ^ i № j t l - z |
\ h |
x '___________ |
|
|
|
|
Z2J / l i t |
- Z z j - a i c t g ^ : - - f £ и ( х * + Z z2 j )
(5 .3 .2 7 )
162
Нетрудно показать, что при X |
= 0 |
выражения |
(5 .3 .25) |
|||||||||||
и (5 .3 .26) равны |
нулю, что соответствует неподвижной гра |
|||||||||||||
нице X |
= 0. |
При 2 |
=>7 |
выражения |
(5 .3 .23) |
и (5 .3 .25) дают |
||||||||
ЭК /0 г = |
0 , |
|
а |
из |
(5 .3 .24) и |
(5 .3 .26) |
следует |
|||||||
Yi - |
0 |
при |
£ |
= |
I, |
что |
также |
соответствует |
заданным ус |
|||||
ловиям. |
Из (5 .3 .23) и (5 .3 .24) |
получаем |
д У / д х |
=О |
||||||||||
Йри X = 0 (свободная поверхность). |
Кроме того, отметим, |
|||||||||||||
что при |
свободной |
поверхности X = |
0 |
и |
4о |
|
не за |
|||||||
висящем от X, результаты также не зависят от X и являются |
||||||||||||||
только |
функцией координаты |
£ |
|
и времени. |
|
|
||||||||
На рис. |
28 |
приводятся |
результаты |
расчетов при |
||||||||||
Уо Ш= Я - GmY |
для. задачи |
с жестко закрепленной |
границей |
|||||||||||
X = 0. Показаны оба случая для нижней границы слоя - а)случай закрепленного основания , б)-случай свободного основания. На пряжения в каждой точке среды имеют знакопеременный харак тер в зависимости от расстояния до границы X = 0 , причем изменяются скачкообразно в момент подхода отраженных и дифрагированных волн, а в промежутках между этиия момента
ми изменяются |
непрерывно. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Воздействие касательных напряжений на поверхность |
|||||||||
|
клиновидного |
слоя |
|
|
|
|
|
|
||
|
Рассмотрим упругий двухкамповентвый слой клиновидной |
|||||||||
формы, лежащей на жестком основании |
|
|
, |
ЗС&О |
||||||
и имеющий свободную поверхность |
JC |
О |
, |
% =0 [ 6]. |
||||||
|
Пусть на свободную поверхность воздействуют касатель |
|||||||||
ное |
напряжение |
/ 0 (?) |
f |
направленное |
|
параллельно оси |
||||
У |
В рассматриваемой области возникают перемещения толь |
|||||||||
|
||||||||||
ко в |
направлении оси |
у |
и соответствующие |
им касательные |
||||||
напряжения, которые |
от |
у |
не |
зависят. |
Задача |
также яв |
||||
ляется двумерной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Граничные |
условия |
задачи |
будут |
следующими: |
|
||||