ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.07.2024
Просмотров: 188
Скачиваний: 1
163
Рис.28
164
при % -0
Ц / < = Ш ) |
Ж _ 4 г ( Ъ ) |
|
||
9 2 |
J * |
’ <?2 |
J “ " |
( 5 . ^ . 1 ) |
при % - X't^cC‘
I)в случае отсутствия трения
Ж |
- |
0 |
^ |
- о |
( 5. 4. 2) |
д п |
|
|
d h |
|
|
2) в случае |
отсутствия перемещений |
|
|||
|
V |
i |
, |
У г - ° . |
(5 .4 .3 ) |
В задаче мы вновь воспользуемся методом Вольтерра, причем для получения замкнутого решения будем полагать
o L - J / к , |
где |
К - |
целое положительное число. С практи- |
||||
чеоной точни |
зрения это не ограничивает общности метода |
||||||
и получаемых результатов. |
|
||||||
|
|
Для применения обобщенной формулы Вольтерра расомот* |
|||||
рим точки: |
£v = Тсо |
|
|||||
|
хг-- х2. |
|
х 0 См [г Е |
{-iho$;»[гЕ( > |
|||
|
ц = - z Zj h |
|
£ i * k E ( t y * h i - i h o G* |
||||
где |
Е()Г) |
- |
целая |
часть |
/fi |
||
|
|
Если провести из этих точен конусы влияния |
|||||
|
|
Сft - TioУ2 -(х -x Sj ) z- (Ъ - Z£j ) z~ 0 |
|||||
до |
пересечения |
о обеими поверхностями клина в пространстве |
|||||
( |
X , |
£ , t i |
), |
то с |
учетом соотношений типа (5 .4 .10) и |
||
( 5 .4 .II)- |
получаем: |
|
|
||||
|
|
|
|
|
в |
первом |
случае |
165
во втором случае
где
|
|
|
t- - 1 . Z |
, |
|
(5 .4 .6 ) |
frcj |
- |
часть |
поверхности % |
=0/ £ > О |
отсеваемая |
|
рассмотренными конусами |
влияния; |
Y\i - число, учитываю |
||||
щее влияние |
волн, |
отраженных от |
поверхностей |
% -0 |
||
и |
|
|
|
|
|
|
Если угловая течка клина не захватывается конусами
влияния, |
то |
~ ttiJXo.JCo |
|
если угловая точка вли |
|||
яет на результаты, то. |
|
= К - |
I , |
то |
есть не зависит |
||
от точки |
( Т о , |
Z0 , t'roJ, |
причем |
всегда |
П;(х0Х о ^ о ) ^ ^ Г ^ ■ |
||
Например, при К = |
2 |
имеем лишь |
две |
волны: |
|||
плосную и дифрагированную от угла. |
|
|
|||||
При |
4 о ( ^ ) = Р о - |
C otbif |
|
в предположении, что |
|||
угловая точка влияет на волновую картину, получаем следую
щие результаты: |
x t g a - |
I) при свободной поверхности |
|
Г,-/ |
|
(5 .4 .7 )
166
2) при ваподвижвой поверхности X = x i ^ o t -
</'° |
(5 .4 .8 ) |
где
Ц +jf/ % Ым +
- 7 „ . n v rtn |
~ ^ г7 - - LP lr.n i* $ k f-Z b ~ ZJl .— + |
||
* |
* y |
^ |
^ |
|
|
, / ^ |
z- z s , |
■ z i zf t t d $ i U d - d j |
W |
i d |
|
|
|||
|
|
ъч Ш |
|
ъ * а ъ с Ч ^ |
~ i t & ’ C W ' - z i j ) - |
||
Щ1г - %\
L - 1,2. \
/ = / , 2 ,... , * W .
(5 .4 .9)
167
На рис. 29 приводятся результаты |
расчетов |
по этим |
||
формулам при |
& - - J / 2, , |
т . е . для случая четвертьпро- |
||
странства, при |
условиях, |
аналогичным |
исходным |
данным пер |
вого раздела настоящей главы.
В обеих рассмотренных задачах данной главы напряжения имеют логарифмическую особенность в точке х о =0, 5Ес *0,
связанную с разрывом в граничных условиях в этой дочке, причем для полосы это имеет место при неподвижной поверх
ности х = 0 , а для клина - в случае неподвижного основа ния H-X'tgc*..
ГЛАВА 6
ИССЛЕДОВАНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ И СФЕРИЧЕСКИХ ВОЛН
Сферические волны
Рассмотрим вначала задачу о распространении сферичес кой волны в двухкомпонентной (твердой и жидкой) среде, при расширении сферической полости радиуса 10 [ 33 J .
Предполагается, что компоненты перемещении, а также деформаций и напряжений являются функциями радиуса и вре мени.
Уравнения движения имеют вид:
|
|
|
|
|
(.6 . 1. 1) |
Ф, |
и |
Ф |
- |
обобщенные потенциалы |
продольных волн в |
двухкоыпонентной |
среде. |
|
|||
|
Задача |
заключается в определении |
общего решения уравне |
||
ния |
(А Л Л ) |
при следующих условиях: |
|
||
б'тг = -U- г;Ро (О
|
при X - Хо |
(6.1 .2) |
|
& - -кРс Ш |
|
- |
нормальное напряжение в твердей компоненте; |
|
6" - |
давление в жидкой компоненте; |
|
К- пористость среды. Начальные условия нулевые
После элементарных преобразований система (6 .1 .1) при ведется к виду:
|
|
169 |
|
|
A ' * |
Q\ |
1ft* > & ^ |
. |
(6.1.3) |
Здесь |
и |
в дальнейшем функции ^ |
^ , Ф , и |
Фг свя |
заны соотношениями:
(6.1.4)
где
ф:3,2 м н н & ю М н г * ш и № е ^ б я . й » Ш г а , )
В уравнениях (6.1.3) и 0г - скорость распростра нения продольных волн I и II типов. Их выражения через уп ругие константы среды имеют вид:
г И л + 2 /! ') ц - ^ г] |
а |
|
$£,2'1
W f u - Щ г~ и + ^ )/ гг±
Очевидно, уравнение (6.1.3) имеет общее решение:
(6.1.3)
< Г г = Ш - * £ ) .
Подставляя (6.1.5) в граничное условие (6 .3 .2 )полу
чим:
^ |
W + m t Ш + % Ш + n U O = |
|
|
-L K~i)p0 а ) |
/ |
У\Л1Ш |
л П г Ш * ) = - К % tt). |
(6 . 1. 6 ) |
|
||
Начальное |
условие выполнится, если |
|
I / ( W < L = f f L r | f L = o |
(6 .1 .7 ) |
|
Система уравнении (6.1.6) при начальных условиях (6.1.7) имеет решения:
|
|
|
|
|
|
170 |
|
|
j |
|
sn , |
n t |
I |
|
a |
+ J . \±+(Q J J . J L p b t ] . |
|
b t f j - |
2 |
( i r + o J t + (-ofe + l |
\ e ' |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(б'Л ’.б) |
|
ш - ^ ь Ь н ^ Ч Л ( % + $ ) 1 |
||||||||
где |
введены |
обозначения: |
|
(6.1.9) |
||||
|
|
|
||||||
|
= i l ^ ± 2 i L |
, |
и > ^ & - , u ^ i J L |
, |
||||
|
- |
лг |
Хо |
|
|
2 ~ а л \ |
|
|
|
|
Q \ |
|
|
|
|||
|
|
0 \ - Х о |
|
|
агъ : |
|
||
„ Q + R A |
д -Ш Ш М ^ л _ |
|
||||||
п* - а*-?. ’ ^ |
|
|
г , а - Ц А - и |
|
||||
р _ dl+Et'jz+L r _ |
L |
j |
£ Ш о < )-уь |
|
||||
|
$ 1 ( У г ~ й ) 1 |
|
|
' |
' M tn t-b D tK \ |
|
||
' > (/? , +CJj-Hi |
’ |
2 |
K lni + L O i)-^ |
|
||||
J> |
ПгПЪ-ПгСОь |
t |
2 |
^ J A l j k z J h L |
|
|||
3 ' |
/?, Wi - »7г 4 |
’ |
k |
|
|
|
||