ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.07.2024
Просмотров: 190
Скачиваний: 1
171
Для величины напряжений 6^ и 6* получим выражения:
^ | 4 £(Л+О.Р^Л/ J z 2- +
+ ГАрМг 4 Z(A-+Qfii.)Mo-l//uh/n+ z(A+2.lu-iQfi, )a/y
t O i l Q iZ
_ £(Al2.P+QMNc 1 ъ +[4p/L , |
|
|
Шг/цЩЫЪ |
||
|
o \ |
J * [ |
Qi г |
|
a \ J't |
, JM v , 2 & ( А + в м Ж W + z p ^ Q . f a W u l e 1 |
№ № , |
||||
t гг |
QiX |
a\ |
J |
z |
r3 |
+ [4.fl*P, |
, |
, j b f t j ] |
г Щ |
а м р * . |
|
_ ttU+zju+Qfijfe j |
J±eBl+ z9zU+&.&)?-, _ |
||||
_ %U+2ju+QjJR,Je*r (j _ p ^ M ± M + zU +Qf*)№ t
, z(A+Q.Pz.)R |
z (A + Z . p ± Q & )N o |
|
ztt+2.fu+Q .& )Pi 7 ■ |
й д |
a? |
' |
a i 1 J J |
172
|
|
|
|
|
|
|
Nr |
|
M r {% |
|
f y d , N , - - 3^ ' N r ~ « и , ’ |
|
|||||
М г Щ ^ и , |
.Pr-a^ld, |
|
||||||
о da |
|
D i d |
n |
a ti +t v j |
|
|
||
pi - t 7 ’ p^ T |
' |
R - |
m i |
|
|
|||
Если |
^ |
« |
\)г |
- |
комплексно-сопряженные |
числа |
|
|
|
Л = £ + |
! | , |
|
|
|
|||
то рашвниам (4 .1 .6) |
будет: |
|
|
|
||||
£ t o |
= - |
c |
i ' 1- f |
1 л ’у Ф |
;" ( $ о - * ы $ о ]e*f t i |
} , |
||
|
|
|
|
|
|
|
(6 .1 .12) |
|
- f ^ ) = < i t 2d:jl b[f$ivi(%t)-8'Ce*>C(§ t ) ] e >li:+8', |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
(6 .I . 13) |
|
oC,jb) t i |
S' - константы, зависящие только от упругих по |
|||||||
стоянных |
и |
скорости. |
|
|
|
|||
Поэтому, |
|
|
|
|
|
|||
к г |
= 7£ |
|
|
|
^ |
Z ^ Ф |
*>>- |
|
173
+ г № - р ) ] ы № +къ№-*(Г-$г)]&($*)]е9г}}~
I f* 2-*"* {2*z +J3+ [(n +ty)&*№)+(M-fy)'
'(*($*)]e^]j~ ~( ^ Ш { # z+рг+[гЫ & -
- & & ( № ] е * * + 8 - } + а+1и%г °A > 12* 4 ![ $ 4 $ -ЧГ(1г-
- f ) \ bh tytM ztff |
+ |
|
+ ^ |
l Zoi'r4Ji |
|
- У t |
)& *,($?] ] e i T J J |
(6:. r .i4 ) |
■{~v { f^ + b fa z ty z + r + fr 15'^!*)'
+ j & + S ' + [ r § i n ( f t ) - 8 ' f a ( $ * ) ] e ,lT] -
" « { 2* + |
Jr+ < № - Г Л |
+ |
4 2 W ' s'hi-ftJ]&cSt)} e* ' } } l , |
Сб'.Г. 15) |
|
|
|
174 |
|
|
|
|
где |
авг |
|
|
|
|
|
2 ( T + f z) |
|
|
|
|
|
|
о 1 [ г (Г + р )ъ + е , ( ? + р № г- р Ь Ш ( ъ 2 - р ]1 |
|
|||||
|
гт1 .Г. \Х/ |
|
|
5 |
|
|
|
(Ъ г + r |
f |
|
|
|
|
А ( У + Г ) 2( у - з р ) ъ + ь ( у + г к |
|
|
|
|
||
г= |
K |
^ + f J 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d \ h l* r ) b f ~ r ) ц Ы Г - f h £ (i F - m ' T * Г ) ] |
|
|||||
|
(F + t‘)s |
|
|
|
|
|
Таким образом, получено рашаниа, описывающее распрост |
||||||
ранение |
сферической волны |
в басконечной |
двухкомпонентной |
|||
среде, образовавшейся при расширении сферической полости |
||||||
радиуса |
?"0 . Выведено математическое выражение |
для опреде |
||||
ления компонентов напряжений как функции |
( |
г ^ |
) . Это |
реше |
||
ние соответствует случэю, |
когда напряжение |
и давление |
в |
|||
полости задаются в виде функции Хевисайда. Для произволь ного распределения &?х и & решение получается с помощью интеграла Дюамеля.
Обобщим задачу на случай среды, состоящей из двух твер дых компонент.
Предположим, что сплошная среда состоит из двух твер дых компонент, каждая из которых является однородной изо тропной упругой средой и плотности компонент среды обозна
чим через |
f t >Л ■ |
~с„ |
при i = 0 |
|
Пусть в сферической полости радиусе |
при |
|||
кладывается |
нормальное давление P(t) |
, не |
зависящее |
от |
угловой координаты. В виду изотропии обеих компонент пара
метры движения |
будут зависеть лишь от радиуса 1 и време |
|
ни t , |
причем, |
считаем,что начало координат совпадает с |
центром |
сферы. |
|
Т75
В сферических координатах ( t , Q ,Ч> ) закон Гука принима ет вид:
|
|
|
|
|
[£?■,■*"2Еве) + |
Etz 't'As Щхъ |
> |
|||||
|
6ge - ~^2 |
l £ fc ^ 2.£&&) ^cZjUfEeeЯj, |
|
|
||||||||
|
$хг ~ °^2 |
+^ г / f i t t +%fae) |
|
6^Ve +ZEee)+2j^3 Ezr > |
||||||||
|
|
=с^г^т.( |
|
^ ^ 9 в ) |
|
2^3^09 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6U .16) |
|
где |
J i |
|
, |
^уг/; |
, |
с(г |
_ константы |
среды |
£><* и |
jk<x - дефор |
||
мации; |
|
|
|
и <=Й« - |
нормальные напряжения |
соответст |
||||||
вующих компонент, |
причем |
|
|
|
|
|||||||
|
с . Э ^ |
£ |
И. Q ^ U |
Q - U |
(6 .1 .17) |
|||||||
|
£гъ~ |
' |
t e e - Z ‘ |
|
’ |
f o e - |
^ |
|||||
( W, У |
) |
- |
Перемещения соответствующих компонент. |
|||||||||
|
Введем потенциалы |
Ф* |
и |
Ф |
по формулам: |
|
||||||
|
|
// |
э ф . |
|
/ / |
_ |
|
|
|
|
||
|
|
|
. |
5г |
' |
|
^ |
|
|
|
|
(6.1.18) |
|
Уравнения движения удовлетворяются тождественно, если |
|||||||||||
Ф< |
и |
Ф2 удовлетворяют |
уравнениям: |
|
|
|||||||
|
|
|
А Ф*.= М 0^ |
+ |
|
ш . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(6 .1 .19) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н = м М < н < ^ |
|
|
|
||||||
где |
|
4 |
- |
Лапласиан, |
|
|
|
|
|
|
||
М . |
] / $ $ ; |
176
м,=[&a w r^ f-h jA + y i,*^)]/!);
Nr-и л +г/'-^ -А&+?Л*^ /»;
й-Ц,*2jj,-^ -V ^ >2/v* ^H hU fr^fU 'Z?,*^
tfu+JiZ-fa-Wfi , Siz+^ г = &fa., f =ft+fz,
Su > /0 , 1 2 ^ |
, J>«v<£? , 3 d z ~ £ z |
k.- коэффициент пористости среды.
Граничные и начальные условия задачи имеют вид;
^r z =dz - U - N ) P M ) |
>% ^ - < * г - К Р о (1 ) |
|
|||||
|
|
|
|
|
при |
'?=Го |
( 6 . Г .20) |
Ф - 2 £ |
:0, |
Ф = |
А |
. о |
при |
i - O , |
(6 . 1. 21) |
^ ■ э-t |
|
" w |
|||||
Решение системы ( 6 .i .i9 j будем искать в виде:
Ф = V , |
Ф 2 '- J3 1/7. |
(.6.1.22) |
Подставляя (4.1.22) в (4.1.19) для J3 получим урав
нение :
р * + M * d L а - M i. =0 |
|
|
f |
М, ? No |
(6 .1 .23) |
Следовательно, система (6.1.19) эквивалентна следую
щей системе волновых уравнений:
J,Л |
i |
дг(А |
a fj! - j |
. . |
Эг<£ |
(6.1.24) |
A‘fir - |
о\ |
diz ' |
паг* |
|
dt- |
|
|
|
|
|
|
|
|
177 |
|
|
|
|
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф, = !6+<& |
, |
Фг |
s |
J |
, |
(6 .1 .25) |
|||
|
|
' |
|
|
> |
||||
Я* =(Х +JitЫ,)\ |
а\=(Мо +> Л/ojr*, |
Гда |
|
||||||
^,<?г - скорости |
распространения |
продольных волн; |
</г - |
||||||
потенциалы продольных волн. |
|
|
|
|
|
||||
Решение |
системы (6 .1 .24) для |
расходящейся |
из центра |
||||||
сферической |
волны |
имеет вид: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
W 4 £ H - ^ ) . |
( 6 . 1 . 26) |
|||||
Подставляя (6 .1 .26) |
и (6 .1 .2 5 ), |
а затем в |
(6 .1 .20) |
- |
|||||
(6 .1 .21) для |
i i l f ) |
и |
|
J z ( i ) |
|
получим систему: |
|
||
СоШ +ЬШ +QiCtm* |
|
|
|
|
Ш ; |
|
|||
C zfi(+hcjj(w <cjjt)+^№ № A \№ т Ы № ~ кш ^ ^
при |
условиях |
|
|
|
|
|
|
|
1°) = f U l ) |
= А ( ° ) = =/« ^ |
= °, |
(6 .1 .28) |
|
где компоненты С{ t |
%)i рэвны: |
|
|
|
||
п |
|
( Ь + . Р * Л ) + 2 . ( 1 и * р - / |
, Ф ^ ± . |
|||
Lo= |
г в a - |
|
;С " |
|
|
|
п |
- |
№ J *+J-,Hz(P*iuat f t e) |
л |
, .&./»« +J*i |
||
й |
_ |
(Л*+РгЪ) +Z(t/Ut + fi,M |
„ |
_ ; |
г\аг ’ |
|
®° |
%,а\ |
' ™ * |
||||
0S . |
(1Ы ъ 4Лч) + 2(£г/иг4(и3) |
д, |
|
M j ui + fls_ |
||
~ г |
(V |
Л ! |
/ " 4 3 ~ “7 |
0 - 2 / 1 |
||
|
|
*о<31 |
|
|
|
|