ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.07.2024
Просмотров: 192
Скачиваний: 1
184
Подставляя (4 .2 .1 2 ; в (4 .2 .1 0 ; находим:
х |
= = £'% (?,2 * + |
-f 4 г Ч я |
х 2 5++<-з21с j****-*- ■■■ |
||
4= Z 3-h i 25Г* + 6, 2 4 it ? ъ + ёх %г+■- +£ к '? 2* '3-'- • • • |
|||||
|
|
|
|
|
'(6.2.13; |
Из |
(6.2.13;, (6.2.9) |
и (6.2.8; |
имеет: |
|
|
й |
|
+ Сг ( ~ ^ |
|
+gLQuc~2^~z ^(6’ .2.14; |
|
|
|
|
|
, |
(6 .2 .1 5 , |
где |
|
|
|
|
|
п |
|
а ’Ь - М к - ъ Л в ] |
|
|
|
|
2_ |
z l C i * - U + z j u ) l l l 9 |
|
||
Р< ? l(A n M h ? i-U -b > )? * Q l
г ' |
2 [ & - ( U 2 j u ) l l ] |
■ |
(6 .2.16) |
Остальные коэффициенты находятся из следующих соотноше
ний:
J/(Xj z j j ) q |
- о (j + р р |
|
Q I " 4 ^ а г Ц - J u ui Л г Ъг |
|
|
Q4 4 |
f 4 = j s . ° . + ) U |
(6 .2 .17) |
а, |
|
|
^ r O t + |
* V ,J t |
J |
|
|
1,6.2.18; |
Коэффициенты |
Ct , C31 C} iC,\ определяются из граничных |
|
условия (6 .2 .7 ) .
Ряды, входящие в решения (,6.2.14; и (,6.2.15) - сходя щиеся. Используя формулы (6 .2 .1 4 ), (6 .2 .15) и (6 .2 .5 ;,мок-
185
но определить значение напряжения для конкретных значений параметров.
На рис.30-34 приведены результаты численного счета при следующих значениях исходных параметров:
J U = 0,З'*°7ё!м~г ' d =6,033
Q-_0,0U i 0 ^ - } j>i0 ^ |
z i 6 iX £ ^ |
; |
Я о =0/2t-10~3 £ fg g L\ |
Г о= 0,Z6 i |
' |
a -2 0 0 0 |
Цъ . |
|
Кривые с крестиками соответствуют однокоыпонентной упругой среде при отсутствии пор.
Рис.30. Рис.31.
186
Рис.32.
ГЛАВА УП
ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ СРЕДАХ С УЧЕТОМ ДИФФУЗИИ
В главе рассматриваются задачи, связанные с распрост ранением плоских одномерных продольных и поперечных волн в двухкомпонентной изотропной среде при наличии диффузии.
Характерная особенность этих волн в том, что они носят затухающий характер, причем затухание происходит по экспоненциональному закону в зависимости от времени и расстоя ния от источника волн до рассматриваемой точки.
Приведенные ниже задачи могут служить математической моделью для описания волновых процессов и проведения кон кретных расчетов в сейсмологии, геофизике, строительном деле, при проведении взрывных работ и в ряде других отрас лей науки и техники.
Плоские продольные волны в полупространстве
Рассмотрим упругое изотропное двухкомпонентное полупро
странство |
ХУ/ О , на поверхность которого |
воздействует |
|
нормальное |
напряжение интенсивности |
-f0 (t) |
ИО:) . Так как |
внешнее воздействие при этом одинаково по всей поверхности полупространства (т .е . не зависит от ^ и , то попереч ные волны и сдвиговые напряжения отсутствуют, а возникаю щие волны будут плоскими одномерными продольными волнами сжатия или растяжения. Поэтому в данном случае потенциалы поперечных волн равны нулю, и .уравнения движения среды при нимают следующий вид:
|
|
|
|
|
188 |
( Л + 2 / / з + 1J2 ^ 2. j - |
i l l |
||||
|
|
|
’ |
д * г |
|
|
|
У dг. л д2'Фг |
_ |
||
|
|
f |
' |
ЪХ* |
|
p Ш |
4 |
|
4 |
|
|
2 9 |
^ |
J ; |
9 / г |
|
|
+ o ( 2 |
$ L - ^ - i |
' |
(7 .1 .I) |
||
v 1 9^ |
|
3* |
|
||
Частные напряжения компонент при j;= О с учетом внут ренних напряжений а?г будут следующими:
^ L = « - ^/о & ~ * г ,
(7.1.2)
Lo = ICJl
Кроме |
того, должно выполняться условие |
О |
прй |
|
Х~* оо |
, |
j = 1,2, что соответствует |
условию |
затуха |
ния на бесконечности (условиям излучения). Начальные усло
вия задачи будем считать нулевыми, т .е . |
при |
~t |
с, О |
||
Ф |
м |
фг - - 2 & - - 0 |
|
|
(7 .1 .3 ) |
|
д± |
|
|
|
|
Выразим граничные условия задачи при |
х |
= 0 |
через обоб |
||
щенные потенциалы |
продольных волн с помощью соотношений: |
||||
|
|
189 |
|
^rx L |
*^2 ^ |
£~X:C "** |
+ |
+ |
+ 2 ^ * * |
= |
|
= -«^(i, <г/(] И . + OW/,J-||-=
= ы ~ )с^ в w ~ d * >
^xx fx=o~ d*^ i f u + 2JZ/S<£XX +
4-Я г ^ х х |
+ -8JU Z |
(jx x ~ |
|
- < /, - a , + ^ ) f g - ■+ ( A |
= |
||
r ^ £ o ( X ) + и г . |
|
(7 .1 .4) |
|
< |
|
|
|
Таким образом, граничные условия в |
обобщенных потен |
||
циалах принимают вид: |
|
|
|
(2^ 2^ |
- Ш |
+ |
= |
|
= ( * - * ) /о I +) > |
|
|
(X k + 2 J u S ^ t + (b + 2 jU t ) * j § z '-
*r J o M
(7 .1 .5 )
при х = 0.
190
Реиение задачи будем искать, используя преобразование
1апласа по времени: ©О
Ф с о ( * , р ) = |
, |
|
|
i - i , Z . |
(7 .1 .6 ) |
Тогда с учетом (7 .1 .3 ) |
основные уравнения |
( 7 .I .I ) запи |
шутся в следующей форме: |
|
|
Г Э2Ф„ |
IJ 32<& |
- |
Li Эхг |
дхг |
- |
= [ (& Рг + 9 Р)] <Р„ + [< & Я2 -9 Р )] <Рг0
(7 .1 .7)
0x2
= < & ? - * № , . -> ( £ ,Р ‘ + 0Р )Ф г о ,
Где приняты обозначения: |
|
|
С ^ Л + 2 ^ - ^ , |
d i = h + 2 J /z - ^ |
, |
c ^ z j u ^ . |
d r - h ^ + S f - . |
(7 Л _8) |
Граничные условия при |
х = 0 в щ>остранстве |
изображе |
нии примут вид:
( ^ +zjWj ^ | § a-+ ГЛ +2/н3) Ц $ * = fP - rj Г0 ДО,
191
(7 .1 .9 )
где
Ktp)=1ёр% ц ш . |
|
(7 .I . 10) |
|||
Положим |
|
|
|
|
|
% = % , |
Ф г а = Ч ^ о . |
|
( 7 . I . I I ) |
||
|
|
|
|
|
|
Подставив последнее в (7 .1 .7 ) для величины |
^ получим: |
||||
(& р г +\>р) + 1г(ЯгРг- :?Р) |
|
|
|||
|
с< + te/i |
|
|
|
|
J A ' P ' - m + y U b P ’ + W |
Q(p) |
. |
|
||
Cz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7 .I .I2 ) |
Из соотношения (7 .I . 12) нетрудно получить квадратное |
|||||
уравнение для |
определения ^ |
в виде: |
|
|
|
%г + |
f l v i - 8 |
= 0, |
|
|
(7 .1 .13) |
где |
|
|
V |
|
|
А_ (Cz.fi, |
d-zfii ~ CiSti. ~dt,?42 J Р ^ |
|
|
||
t o f i . - r i . g J P - I dt |
|
|
|
||
fc/у Н Л |
- Су |
-& > |
) |
|
|
(7 .1.14)