Файл: Баринов К.Н. Теория полета космических аппаратов.pdf

125

где

of, - угол

между вектором

AV, и трансверсальным направ­

лением.

Функциональную

зависимость

AV, от параметров,

подлежащих

определению,

будем

называть функцией импульса. В данном

случае

требуется определить параметры переходной орбиты р

,

е

и истин­

ную аномалию точки приложения импульса на переходной орбите.

Поскольку три неизвестных

величины связаны между

собой дву­

мя условиями

( 4 . 2 2 ) , то представляется возможным свести

функ­

цию импульса (4.23)

к функции одного переменного. Возьмем в ка­

честве такой переменной фокальный параметр переходной орбиты

р

и преобразуем

выражение (4.23) с учетом

( 4 . 2 2 ) . Исключим

сперва величину

т9"* . Из первого уравнения

(4.22) имеем

Р

1

cos

Л

(4.24)

Второе

уравнение (4.22)

представим в виде

c o s ^ c o s # ~ s L n

Л

sLn<$ -

—

Решая их совместно

относительно

si-nt?*,

находим

sin

0 ; = (

-

/

7

(4.25)

е

cos Ф

е

J

sin Ф

Зависимости (4.24) и (4.25)

при заданных

р а е

однозначно

определяют третий параметр

. Возводя в квадрат

левые и

правые части равенств

(4.24)

и (4.25) и складывая

их,получим

1

(4.26)

s i n

Ф

Наконец, для радиальной составляющей скорости на переходной

орбите в точке I

имеем

е s i n #* = ••/—

. .

• .

(4.27)

VP

s m Ф

Подставив найденную

зависимость

для радиальной

скорости

(4.27) F исходное

выражение

( 4 . 2 3 ) ,

получим

Щр)=

J ^

V p -

VpSf+к

(f-7)cos$-^->)

e,S Ln^

(4.28)

Vp

sin <£

V/T

творяющей заданный уравнениям связей

( 4 . 2 2 ) .

Поэтому

она каж­

дому значению фокального параметра р

ставит

в соответствие

некоторое

значение AV, , при котором

обеспечивается

переход

из точки I

в заданную точку 2.

условие, характеризующее

маневр. В качестве такого

условия

примем

A V = m l n A V ( p ) .

(4.29)

Найденная из условия

(4.29) переходная орбита

обеспечи­

ировать значение

фокального параметра

р

,вычислить последова­

тельность значений AV,, и выбрать из нее

наименьшее значение

AV7 .Тогда

р о п т

при ДУ7 / п : п полностыо

определит собой перехЪд»-

ную орбиту

в соответствии с формулами

( 4

. 2 4 ) , (4.25) и ( 4 . 2 6 ) .

'пар

I

Если предположить, что запас характеристической

скоро­

Функция импульса

A V

( р )

(4.28) выпуклая. Поэтому в

области p m i n - р

- ртах

о

ы а и а е

е г единственный минимум

(рис.4.8), и для

отыскания его

можно использовать стандарт­

фиксирована (задана истинной аномалией

я?",

) . В случае,

ког­

да требуется перейти с ис­

ходной орбиты в заданную

точку, возникает

необходи­

мость онределеню

наряду

с

управляющим импульсом

и

положения точки.старта

с

исходной орбиты. При этом

функция импульса

имеет

тот

же вид ( 4 . 2 8 ) , но является

Pmin

Ропт

уже функцией двух перемен­

Рис.4.8

ных:

Vp

sin Ф

^

J

где

Л

Л

=

7 + e7

COST?,.

7

Результатом

решения задачи являются величины р и v}

,при

упрощения решения этой

задачи исследуем

частный случай,

ког­

да дальность перехода

Ф

равна

К

,

тем более,

что при

Ф =

= 5t - в выражении (4.28) имеет

место

неопределенность

типа ~ .

При Ф = ЗС условия

(4.22) принимают вид

7+есозтЗ^ =

П

7

+ е с о з ^ + З Е )

Г г

'

откуда получаем '

г, +

г 2

(4.30)

Таким образом, при дальности перехода, равной 5с

, фокаль­

ный параметр переходной орбиты

р

определяется

непосредствен­

но из граничных условий

(4 . 22) . Вместе

с тем оказывается опре­

деленной и трансверсальная

составляющая

импульса

4 у _

[ e s L n ^* -

е ?

&i

Если существует переходная орбита,

проходящая через

точки

I и 2, при отсутствии

радиальной составляющей импульса,

то

Исследуем радиальную составляющую импульса AVpHa предмет

обращения ее в

нуль:

esinfi*

_

er

sin

# i

_

~~W

v p ;

- °

-

Это равенство

будет

для переходной

орбиты выполняться,

ес­

ли

существует e s t n i ^ ,

удовлетворяющее

условию

e s l n i S ^ = е, s i n - д г у •

Преобразуем

это равенство

с учетом первого условия

(4.22)

и

выражения ( 4 . 3 0 ) :

Р

_

2 г,

/ + e c o s # * ~ Р ?

^

г] + г 2

'

откуда

е cos Л

г,-

п

'г

'?

рг +

г,

Исключая истинную аномалию

тЭ"*

,

получим

е ~ ( e , s „ n t f j

+

[-jtt^-J.

(4.31)

Правая часть равенства (4.31)

при любых значениях ej%

,

rj

г2

положительна. Отсюда следует,

что всегда

существует

пере­

ходная орбита, удовлетворяющая граничным условиям (4.22) и

условию

( 4 . 3 1 ) .

Таким образом, оптимальный переход с орбиты в точку при

дальности перехода ф = ЗС осуществляется

с помощью трансвер-

сального

импульса

исходная орбита круговая, то начальные уело-!

вия не

зависят от

положения точки

старта на

2

орбите

( г = const,

V = c o n s t ) .

Поэтому

зада­

ча оптимального перехода с орбиты в

задан­

ную точку трансформируется в задачу измене­

ния орбиты с минимальным изменением механи­

ческой энергии. Минимуму же изменения энер­

гии Э,

отвечает минимум изменения

большой

полуоси

а . Последнее условие

выполняется

лишь в

том случае,

когда заданная

точка

2

лежит на самой оси апсид переходной

орбиты,

Пусть исходная орбита

задана

параметрами р}

, е 7 ,

со,, а

новая орбита - параметрами

р 2 ,

е2 , с о 2 . Кроме

того,

опреде­