Файл: Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие.pdf

Т Ш= 4 - - М со2 = 3 > 2

(е)

3. Найдем кинетическую энергию груза В.

движение,

то

Так как груз

В

совершает

поступательное

его кинетическая

энергия

равна:

1

1

G,

1 980

(ж)

Тгр = _2_ гпвУь2= ~2 ~ ■_g_vB2 = ~ i

У^~"ув2 — 50vB2,

где vb — скорость движения груза В.

и

(.ж) в

(б), получим:

4. Подставив выражения (г),

(е)

Т = 12 ш д2

-|—3,2 ш2

- р

.оО Vb2.

( з )

Выразнм со\ и vb через со,

используя

законы кинематики

(рис. 71а):

>

сод =

vr

ш R,

0,3

со =

0,75 со ,

—

=

- =

qj4

Vb — со R2 =

0,2 со .

(За)

Т =

12 (0,75 со)2 4- 3,2 со2 -|- 50 (0,2 со)2 =

6,7 со2

3,2 со2 -}-

+ 2 со2

= 11,9 со2 .

(и)

5.

Определим сумму

элементарных

работ

всех внешних

ремещению (реакции

и N2), либо сила не перемещается

при движении системы (сила Q,

реакции хо, уо).

Таким образом, работу, при движении механической си­

стемы совершают но.мент М, силы Gt, G2 и F2tp.

Поэтому

2 dAe = dAi

dA2

dA3 + dA4 ,

где dAi — элементарная работа момента М,

совершае­

мая

при повороте

ступенчатого

шкива на

угол

dtp;

dA2 — элементарная

работа

силы

Gi на

перемеще­

нии dS 1;

работа

силы

G2 на

перемеще­

dA3 — элементарная

нии dS2;

работа

силы

трения

F2tp

на

dA4 — элементарная

Так как

перемещении

dS2.

(рис. 71 а)

dAi =Mdcp=100dcp,

dA2 =

Gi cos a - dSi =

980 • cos 30° dSj =

=

980 • 0,87 dS, = 850dS, ;

dA3 = — G2 • cos p • dS2 =

— 980 • cos 45° dS2 =

=

— 980 • 0,7 • dS2 = -

685 dS2 ;

dA4 =

— F2Tp

•

dS2 -

—fG2n • dS2 = — fG2 • sin ВdS2 =

= - 0,2 - 980

•

sin 45°' •

dS2 =

- 0,2 • 980 • 0,7 • dS2 =

=

-

137dS2 ,

TO

2

dAe =

lOOdcp + 850 dS,

— 685 dS2 -

137 dS2 .

(к)

Выразим dSi и dS2 через dcp, используя законы кинема­

тики (рис. 71а):

dSI = Ridcp= 0,3d(p,

dS2 = R2dcp = 0,2dcp.

С учетом полученных зависимостей выражение

(к), опре­

деляющее значение элементарной работы всех сил, действу­

ющих на систему, примет вид:

2 dAe =

100 d ф +

850 • 0,3 d ф -

685 •

0:2 d ф -

137 • 0,2 d <р =

= 100 d ф +

255 d ф — 137 d ф. — 27,4 d ф =

191 d ф .

(л)

6.

Подставив зависимости (и)

и (л)

в зависимость (а),

выражающую теорему об изменении кинетической энергии

оистемы,

получим:

или

. d(ll,9co2) = 191бф

1 l,9dm2= 191бФ.

’

(м)

Разделим равенство

(м) на dt:

П

d

9

d ф

.

191- j f .

Отсюда

,. „

dcu

dm

1

И,9 • 2 - -j j - = ш - у

Учитывая,

что

=

е н

= со,

получим из

предыдущего

уравнения:

23,8 со

■s =

191 ш .

Отсюда

191

в =

8 сек~ 2 .

2з"g" =

N, и реакция со стороны каната

Fad-

Д ля нахождения натяжения

Fad каната AD применим к

движущемуся катку А теорему

об изменении

кинетической

энергии (в дифференциальной форме):

dTk=2dA,

_

(н)

где Тк — кинетическая энергия

катка

А; •

ражение (г)]:

Тк= 12соа2.

Так как

соа= 0>75(о,

то

(о)

Тк= 12(0,75со) 2=6,7со2,

где <в — угловая скорость вращения ступенчатого

шкива си­

стемы.

Найдем сумму элементарных

работ

сил (G|,

N) н F.\d)г

действующих на каток А.

своему

перемеще­

Так как реакция N)

перпендикулярна

нию во все время движения катка, ее работа равна нулю.

Поэтому

IdA = dA1+ clA2,

где dА] — элементарная

работа

силы

G|

на

перемещении

dS,;

работа

силы

F^d на

перемещении

dAo — элементарная

dSb

Так как

v dA — S50 dS, - Faj ■dS, = (S50 - РАД) • dS, .

(n)

ИЛИ

1

6.7 dco2 =

(850 -

Рад) • dS, .

(р)

Разделим

равенство

(р)

на

dt:

d

dSj

6>7_dT(lu2)

=

(850 - Fah)

- ^

'

Отсюда

dio

dS i

6.7 U)'dT

=

(850

Рад^

dt

’

Учитывая,

dw

=

e

dS i

= v c , получим • из

что

и

предыдущего

уравнения:

13,4(о ■е= (850—FAd) • v c .

(с)

Так как (см. рис. 71а)

vc = coRi = 0,3(о,

Отсюда

13,4

Рад =

850 —

• г .

Учитывая, что е= 8 сек~2, получим из вышеприведенного

равенства:

рДд = 850 -

13,4

• 8 = 492 к .

- у у

реакциями связей

получим свободно

движущийся груз

В,,

на который будут

действовать сила G2, реакции

опоры N2,

F2tp и реакция со стороны каната Fbe

(см. рис. 71в).

к

Для нахождения натяжения Fbe каната BE применим

движущемуся грузу В теорему об изменении

кинетической

энергии (в дифференциальной форме):

dTrp= EdA,

(т)

где Тгр — кинетическая энергия груза

В;

EdA — сумма элементарных работ всех внешних сил, дей­

ствующих на груз В.

равна [см.

выражение

Кинетическая

энергия груза В

(ж) ]:

T,p= 50vr2.

Так как

vb= 0,2ш,

то

.

ТГр = 50(0,2со)2=2-со2,

.

(у)

где со — угловая скорость вращения ступенчатого

шкива

си­

стемы.

и Fbe), Дей­

Сумма элементарных работ сил (G2, F2tp, N2

ствующих иа груз В,

будет такова: