Файл: Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие.pdf

§ 33. Работа сил, приложенных к телу

Силы, приложенные к телу, при перемещении тела совер­ шают работу.

Вобщем случае работа сил находится по формулам, приведенным выше (см. § И).

В. настоящем параграфе рассмотрим случай определения работы сил, приложенных к вращающемуся телу.

Пусть на тело, которое может .вращаться вокруг оси z, действует сила F, приложенная к точке к тела (рис. 68а ).

Разложим силу F на две составляющие Fz и Fxy. Сила F* 'параллельна оси z, сила Fxy перпендикулярна оси z и лежит в плоскости вращения тела ху.

Разложим далее силу Fxy в плоскости ху «а составляющие Fn и F T. Силу Fn направим по радиусу ОК, силу F '— пер­

пендикулярно радиусу ОК-

Таким образом, силу F, приложенную к телу, представим в виде трех ее составляющих: Fz, Fn и F^-Из этих трех со­ ставляющих только одна F T вызывает вращение тела и производит при этом работу.

116

Найдем величину работы, которую совершает сила при повороте тела на бесконечно малый угол dcp (см. рис. 686).

Сила FT , приложенная в точке к тела, при повороте те­ ла на элементарный угол dcp переместится на элементарное расстояние dS. Поэтому

силы относительно оси вращения на элементарный угол по­

Мощность, передаваемая вращающемуся телу от силы, действующей на тело, равна произведению момента этой си­

117

лы относительно оси вращения на угловую скорость враще­ ния тела.

Из выражения (164) следует, что если вращающемуся те­ лу передавать одну и ту же мощность, то вращающий мо­ мент, действующий, на тело, будет тем больше, чем меньше угловая скорость вращения тела.

§ 43. Теорема об изменении кинетической энергии твердого тела и механической системы

Если рассматривать движение какой-либо точки движу­ щегося твердого тела, то-для этой точки можно записать

(СМ. § 11):

где Шк — масса к-ой точки тела; Vk— скорость k-ой точки тела;

SdAk — сумма элементарных работ всех сил, действу­ ющих на к-ую точку тела.

Составив такие уравнения для каждой точки тела и скла­

действующих на тело;

2dA‘ — сумма элементарных работ всех внутренних сил тела — сил взаимодействия между точками те­ ла.

Так как расстояния между точками приложения внутрен­ них сил тела при движении тела не изменяются, то сумма ра­ бот всех внутренних сил тела равна нулю.

Поэтому выражение (165) для твердого тела примет вид:

Зависимость (165а) представляет собой теорему об изме­ нении кинетической энергии твердого тела в дифференциаль­ ной форме.

118

Проинтегрировав обе части равенства (165а) в пределах, соответствующих перемещению тела из некоторого начально­ го положения, где кинетическая энергия равна Т0, в положе­ ние, где значение кинетической энергии тела становится рав­ ным Т, будем иметь:

Уравнение (166) выражает теорему об изменении кинети­ ческой энергии твердого тела в конечной форме:

изменение кинетической энергии твердого тела при неко­ тором его перемещении равно ,сумме работ на этом переме­ щении всех приложенных к телу внешних сил.

Зависимости (165 а) и (166) справедливы и для механи­ ческой системы, состоящей из группы твердых тел.

Однако в этом случае при определении суммы работ сил системы необходимо учитывать не только внешние силы, дей­ ствующие на систему, но и внутренние силы — силы взаи­

где Т — кинетическая энергия механической системы в рас­ сматриваемом положении системы;

Т0 — кинетическая энергия системы в начальном поло­ жении системы;

5Ае — сумма работ всех внешних сил, действующих на систему.

Неизменяемой называется система, в которой расстояния между точками приложения внутренних сил при движении системы не изменяются.

Л

119

л

§ 35. Решение задач динамики системы с помощью теоремы об изменении кинетической энергии системы

П р и м е р 1. На ступенчатый шкив, вращающийся во­ круг неподвижной горизонтальной оси О, навернуты два ка­

Шкив приводится в движение приложенным к нему момен­ том М = 100 нм, при этом каток катится без скольжения по наклонной плоскости, составляющей с вертикалью угол

,а=45°, а груз поднимается по наклонной плоскости, состав­ ляющей с вертикалью угол [3 = 45°. Определить угловое уско­

рение шкива и натяжения канатов, если заданы коэффици­

120

Р е ше н и е . Данная движущаяся механическая система состоит из трех тел: катка А, ступенчатого шкива и груза В.

Каток совершает плоское движение, катясь без сколь­ жения по неподвижной наклонной плоскости.

Ступенчатый шкив вращается вокруг .неподвижной оси О. Груз В перемещается поступательно по наклонной не­

подвижной плоскости.

Для нахождения углового ускорения ступенчатого шкива применим к данной системе теорему об изменении кинетиче­

2 dAe — элементарная сумма работ всех внешних сил, дей­ ствующих на механическую систему.

Найдем кинетическую энергию данной движущейся меха­

121

где Т]; — кинетическая энергия катка А; Тш — кинетическая энергия ступенчатого шкива; Тгр— кинетическая энергия груза В.

1. Определим кинетическую энергию катка А.

где Jp — момент инерции катка относительно точки Р (мгно­ венного центра скоростей катка);

шл — угловая скорость вращения катка.

Найдем JP) используя теорему о моменте инерции тела относительно параллельных осей:

=r2 = “2— ■0,42 = 24 кгм* .

Подставив значение Jp в выражение (в), получим:

2. Найдем кинетическую энергию ступенчатого шкива.

Так как шкив совершает вращательное движение вокруг оси О, его кинетическая энергия равна:

Найдем J0, зная радиус инерции шкива:

122