Файл: Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.07.2024
Просмотров: 190
Скачиваний: 3
Как известно из геометрии, центр тяжести трапеции нахо дится от основания тра-пеции на расстоянии h, определяемом по формуле (рис. 866):
|
|
h = |
|
Н |
|
а + 2Ъ . |
|
|
(а) |
|
|
|
|
3 |
|
a + b Г |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдем'величину h по зависимости |
(а) |
для |
трапеции |
|||||||
EDOidOie |
(рис. |
86а): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h = |
Fd • |
sin 60° |
|
' Ф IЕ + 2ФIП |
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
|
|
1Ф 1Е + |
Фю |
|
|
ED |
• sin 60° |
/0,9 |
mk u>2 + 2 • 0,75 mk • ш2 \ |
|||||||
|
3 |
|
’ i |
|
0 , 9 m k + 0,75mi{ ‘ |
0)2 |
/ |
|||
|
0,3 |
• 0,87 |
|
/0,9 + |
2 • 0,75 |
0,127 ж. |
||||
|
|
3 |
|
‘ |
( 0,9 + 0,75 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом, равнодействующая сил инерции стержня |
||||||||||
DE равна |
R"= 15,2оэ2 |
(я) |
и |
приложена |
на |
расстоянии |
||||
h = 0,127 м от основания трапеции ЕБФщФш- |
|
вала рас |
||||||||
Для нахождения |
угловой |
скорости |
вращения |
|||||||
смотрим равновесие стержня DE и находящихся на нем гру зов D и Е. Стержень DE с грузами D и Е находится в равно весии под действием сил Рь Q, Р2, сил инерции Фи, Фе, R" « реакции Ro со стороны стержня НО.
Составим |
условие равновесия для |
вышеуказанных |
сил, |
||
действующих |
на |
стержень |
DE: |
|
|
УМ 0(Fk) = |
Р, • (OD |
• cos 60°) - |
Q (ОС • cos 60°) - |
|
|
- Р2 • (ОЕ • cos 60°) - Фо (OD • sin 60°) +
+ RH■(ОЕ • sin 60° - h) + ФЕ (ОЕ • sin 60°) = 0 .
Подставим в полученное выражение известные, величины:
20 • (0,1 • 0,5) - 180 (0,05 • 0,5) — 60 • (0,2 • 0,5) -
- |
1,53 а)2' (0,1 |
• 0,87) + |
15,2 ш2 • (0,2 • |
0,87 - 0,127) + |
|
|
|
+ |
5,5 а)2 |
• |
(0,2 • 0,87) = |
0 . |
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
2 _ |
- 20 • (0,1 • |
0,5) + |
180 • (0,05'- 0.5) |
+ 60(0,2 • 0,5) |
= |
|
“~ —1,53 • (0,1 • 0,87)+ 15,2-(0,2-0,87-0,127)+ 5,5(0,2-0,87)
*_ = 6,15 ,
'“ = V ^1 5 = 2,48 сек~1.
160
Для нахождения реакции подшипника В и подпятника А рассмотрим равновесие всей 'механической системы.
Данная механическая система, состоящая из вала АВ, стержня НО, стержня DE и грузов D и Е, находится в рав новесии под действием сил Pi, Q, Р2, сил инерция Фц, Фе, R11, реакций хА, уА, zA со стороны подпятника А и реакций хв, ув со стороны подшипника В.
Составим условия равновесия для вышеуказанных сил, действующих на рассматриваемую механическую систему.
l . ~ 2 Mx(Fk) = — ув • АВ - Фо ■AL —RH■АК — - ФЕ • AM — Р, • DL - Q • CN - Р2 • ЕМ =-• О . .
Отсюда
— Ув ■АВ = Фд • AL -f- RH • АК + Фе ■AM -(- Pj • DL -j- + Q • CN + P2 • EM = Ф д • (AH + OD • sin 60°) -f
R" (AH - OE • sin 60° + h) + |
Ф е (AH - OE • sin |
60°) + |
|||||||
+ |
P! (HO - |
OD • cos 60°) + |
Q ■(HO - f OC • cos 60°) + |
||||||
+ |
p2 (HO + |
OE cos |
60°) = |
1,53 • 6,15 ■(0,6 + |
0,1 |
• 0,87) + |
|||
+ |
15,2 |
• 6,15 ■(0,6 - |
0,2 •0,87 + 0,127) + 5,5 • |
6,15 |
• (0,6 - |
||||
— 0,2 |
•0,87)+ 20 (0,8 — 0,1 |
• 0,5) + |
180 (0,8+ 0,05 |
• 0,5) -f |
|||||
|
|
|
+ 60 (0,8 + |
0,2 • 0,5) == 291 . |
|
|
|||
|
|
|
|
291 |
291 |
on1 |
|
|
|
|
|
|
*■ — |
A B --------- i----------291“ • |
|
|
|||
|
|
|
2. 2 My (Fk) = - xB • AB = 0. |
|
|
||||
Отсюда |
|
|
xB = 0. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3. . 2 |
Fkx = xB+ Х А |
= o . |
|
|
||
Отсюда
xA= 0.
4- 2 Kky = Ув + Фд + R" + Фе + Уа = 0 •
Отсюда
УА = - ув - ф 0 - RH _ фЕ = - ( - 291) - 1,53 • 6,15 -
• — 15,2 • 6,15 — 5,5 • .6,15 == 154 « .
5. 2 F kz = zA - P . - Q - P 2= 0. -
11 Заказ 249 |
i 6 i |
Отсюда |
|
|
|
|
|
‘ |
|
|
. zA = |
Pi + Q + Pa - |
20 + 180 + 60 = |
260 н . |
|||
Полная реакция подшипника В равна: |
|
|
|||||
|
Кз = у |
хв2 + ув2 = У Ч 2 + |
( - 291)* |
*291 |
н . |
||
Полная реакция подпятника А: |
|
|
|
||||
Ка = У ха2 + |
Уа* + zA2 = |
V О2 + |
1542 + 2602 = |
302 н ■ |
|||
П р и м е р |
3. |
К валу АВ, |
-вращающемуся равномерно во |
||||
круг |
вертикальной неподвижной оси у с угловой |
скоростью |
|||||
м = 3я. сект1, |
прикреплен шарнирно в точке С стержень CD |
||||||
весом |
Q = 160 н. |
На стержне |
CD закреплены |
два |
точечных |
||
груза |
D и Е, |
веса которых соответственно равны |
Pi = 80 н, |
||||
Рг=20 н. Стержень CD скреплен с валом АВ при помощи го ризонтальной нерастяжимой нити KL; при этом Z_BCD = 60° = = const. Пренебрегая весом вала АВ, определить натяжение нити и усилие, действующее на шарнир С при вращении си стемы. Дано: СЕ = 0,5 м; СК = 0,4 м\ CD = 1,5 м (см. рис. 87).
#1
Р е ше н и е . Применяя принцип Даламбера, мысленно ос тановим данную механическую систему, состоящую и.з стерж ня CD и грузов Е и D. Для этого к действующим на систему внешним силам Рь Q и Р? добавим силы инерции грузов D и
162
Е, вращающихся .вокруг оси у, и силы инерции стержня CD, также вращающегося вокруг оси у.
Сила инерции груза D направлена противоположно уско рению груза w d и равна:
фд = гпд\Уд = Щдш2 DM — т д ш2 CD sin 60° = on
= |^ -(3 it)2 • 1,5 • 0,87 = |
948 к . |
Сила инерции груза Е направлена противоположно уско |
|
рению груза we и равна: |
|
Ф е = iheWe = mEo)2 • EL = Ше «>2 |
• СЕ • sin 60° = |
= -^ -(3 тс)2 ■0,5 • 0,87 = |
79,2 н. |
9,8 |
|
Силы инерции стержня CD представляют собой систему |
|
параллельных сил Фк, направленных в одну сторону и обра зующих ACDO (рис. 87). Эти силы инерции можно привести к одной равнодействующей:
|
|
|
R" = 2 Фк = - 2 mkwk = - mw С| . |
|
|
|||
где гп — масса стержня CD; |
|
|
|
|
||||
wc |
— ускорение центра масс Ci стержня CD. . |
|
|
|||||
По модулю R" равна: |
|
|
|
|
||||
R" = |
|
mwCi ——-~ w2 *' C,N = |
со2 (СС, sin 60°) = |
|
||||
|
|
|
|
ё |
ё |
|
|
|
|
|
|
= ^ - ( 3 тс)2 • 0,75 • |
0,87 = |
950 н . |
|
|
|
|
|
|
9,8 |
|
|
|
|
|
Линия |
|
действия |
равнодействующей |
R1 1 пройдет |
через |
|||
центр |
тяжести ACDO. |
|
|
|
|
|||
Центр тяжести |
A CDO находится от основания СО на |
|||||||
расстоянии |
h = —i-H : |
|
|
|
|
|||
|
|
|
О |
г |
|
|
|
|
h = |
о |
Н = 4 |
- CD cos 60° - |
'-4- • |
1,5 ■0,5 = |
0,25 |
я , |
|
|
|
о |
|
о |
|
. - |
|
|
Таким образом, равнодействующая сил инерции стержня |
||||||||
CD равна |
|
R“=950 н и приложена на расстоянии |
h=0,25 м |
|||||
от основания A CDO.
Для нахождения натяжения Т .нити K.L и усилия, действу ющего на шарнир С, рассмотрим равновесие стержня CD,
11* |
163 |
освободив стержень CD от связей и заменив действие связей «а стержень реакциями связей Т, хо, уо-
Стержень CD находится в равновесии под действием сил Р>, Р2, Q, сил инерций Фе, Фб, R" и реакций связей Т, хо, уо.
Составим условия равновесия для вышеуказанных сил, действующих на стержень CD.
1. 2 М С(Fk) = - Р2 • (СЕ ■sin 60') - Q • (СС, • sin 60°) - - Р, (CD • sin 60°) - ФЕ • (СЕ cos 60°) -
. — R" • (CD • cos 60° — h ) — Ф d • (CD • cos 60°) + T • CK = O.
Отсюда
T • CK = P2(CE • sin 60 ) + Q (CC, • sin 60°)I +-
+ P, • (CD • sin 60°) + Ф e • (CE ■cos 60°) +
+ R H • (CD • cos 60° — h) + Фд ■(CD • cos 60°) =
= 20 • 0,5 ■0,87 -f 160 ■0,75 • 0,87 |
80 • 1,5 • 0,87 + |
+ 79,2 • 0,5 • 0,5 + 950 - (1,5 - 0,5 - 0,25) +
+ 948 • (1,5 • 0,5) = 1420 ,
и тогда
1420 1420 = 3550 н . CK 0,4
2.2 Fkx = Xc — T -f- Ф e + RH + Фд = 0 .
Отсюда
xc = T - Ф e - R“ - Фд = 3550 - 79,2 — 950 - 948 = 1573 и. 3. 2 Fky = Ус — P2- Q— pi = 0■
Отсюда
Ус = P2 + Q + P, = 20 + 160 + 80 = 260 н .
Полное усилие, действующее на шарнир С, будет равно:
Rc = V хс23.+ ус2 = V 1573s + 26G2 = .1590 к .
П р и м е р 4. Определить реакции .опоры А движущейся механической системы в произвольный момент времени. Да
но: Ш[= 100 кг; гп2=250 |
кг; /= 1,2 м\ R= 0,2 м; |
радиус инер |
ции шкива 3 ix=0,15 м; |
R=2r; m3 = 0,lmi (см. |
рис. 88). |
Р е ше н и е . Прилож1им к телам данной движущейся ме ханической системы силы инерции; тогда эту систему можно
164
рассматривать как 'находящуюся в равновесии (принцип Дадэмбера).
Сила инерции груза 1 направлена противоположно уско рению груза 1 (см. рис. 88) и равна:
Oi = miWi = 100-wi. |
(а) |
Сила инерции груза 2 направлена противоположно уско рению груза 2 и равна:
<J>2 = m2W2= 250-w2.’ |
(б) |
Силы инерции шкива 3, вращающегося относительно сво его центра масс С, приведутся к паре сил с моментом, на правленным противоположно угловому ускорению шкива и равным:
Ми = 1с • е = (ш31х2) ■е = (0,1 • 100 • 0,15=) • е = 0,225 е. (в)
Найдем зависимость между Wj, w2 и е, используя законы кинематики:
wr=R -e; |
(г) |
w2 = r-e. |
- (д) |
С учетом выражений (г) и (д) зависимости (а), (б), (в) примут вид:
Ф, = 100-Д-е=100-0,2е=20-е; Ф2=250 • г • е = 250 • 0,1е= 25е; Ми = 0,225е.
(е) (ж) (з)
165