Файл: Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие.pdf

Рассмотрим равновесие шкива, выделив его из системы и отбросив от него связь (стержень АС). Действие связи (стержня АС) на шкив заменим реакцией связи Nc (реакция проходит через шарнир С).

Шкив с грузами находится в равновесии под действием, сил Рь Р2, Рз, сил инерции Фь Ф2, момента Ми и реакции Nc.

Составим условие равновесия для вышеуказанных сил,

Подставив полученное значение е в зависимости (г) и (д), найдем wi и \v2: -

166

§ 41. Возможные перемещения механической системы

Если какую-либо механическую систему, находящуюся в равновесии, мысленно переместить из заданного положения в положение, бесконечно близкое к заданному, то такое пе­ ремещение называется возможным перемещением системы.

Бесконечно малые перемещения, которые при этом полу­ чат точки механической системы, называются возможными перемещениями точек системы.

Если, например, кривошип ОА механизма (см. рис. 89) мысленно повернуть на бесконечно малый угол бср, то в ре­ зультате этого механизм займет положение, бесконечно близ-

167

кое к исходному, а все точки этого механизма получат воз­ можные перемещения. Точка Ладанного механизма получит возможное перемещение 6SA, точка В — перемещение 6Sb и т. д.

Возможное перемещение в отличие от действительного пе­ ремещения dS принято обозначать аимволом 6S.

Возможные перемещения точек механической системы (как бесконечно малые перемещения) можно считать прямо­ линейными и совпадающими с направлениями скоростей этих точек (рис. 89).

Если механической системе можно сообщить только одно возможное перемещение, то такая оистема называется систе­ мой с одной степенью свободы. В этом случае возможные пе­ ремещения всех точек системы зависят друг от друга и по­ этому их можно выразить через возможное перемещение ка­ кой-либо одной точки данной системы.

Если механической системе можно сообщить п независи­ мых друг от друга возможных перемещений, то такая систе­ ма называется системой с п степенями свободы.

Я.

Механическая система, изображенная на рис. 90, имеет

две степени свободы. Данной системе можно сообщить два независимых друг от друга возможных перемещения:

1)перемещение, получаемое от сообщения ползуну В воз­ можного поступательного перемещения 6Sb;

2)перемещение, получаемое от сообщения стержню АВ возможного поворота вокруг оси В на угол б<р.

168

§42. Принцип возможных перемещений для механической системы

Любая механическая система представляет собой сово­ купность бесконечно большого количества точек. Движение или равновесие каждой точки механической системы можно рассматривать отдельно, отбросив от точки связи и заменив действие связей на точку реакциями связей. Разделим все силы, действующие на точки механической системы, на актив­ ные силы и реакции связей.

К а к т и в н ы м с и л а м механической системы отнесем все те силы, которые вызывают или стремятся вызвать дви­ жение точек и тел в системе.

Введем понятие об идеальных связях.

Если связи в механической системе будут таковы, что при элементарном (бесконечно малом) перемещении системы сумма работ реакций этих связей равна нулю, то такие свя­ зи называются идеальными.

Рассмотрим механическую систему, которая под действи­ ем всех приложенных к ней сил находится в равновесии. Бу­ дем при этом связи для всех точек системы считать идеальны­ ми.

Выделим произвольную точку Вк системы и обозначим ра­ внодействующую всех приложенных к ней активных сил че­ рез Fka, а равнодействующую всех реакций связей — через Nk. Так как точка Вк вместе со всей системой находится в равно­ весии, Fka+Nk = 0 или Fka= —Nk. Следовательно, при любом возможном перемещении точки Вк возможные работы бАка и 6Акг приложенных к ней сил Fka и Nk равны по модулю и противоположны по знаку и в сумме дадут нуль:

6Aka+6Akr = 0.

Аналогично рассуждая, получим подобные равенства для всех точек системы. Сложив эти равенства, получим:

S6Aka+ 26A kr = 0.

Так как связи для всех точек системы являются идеаль­ ными, вторая сумма, согласно определению идеальных свядей, равна нулю.

Следовательно, и

Таким образом, мы доказали, что если механическая си­ стема с идеальными связями находится в равновесии, то сум­

169

ма работ всех действующих в системе активных сил при воз­ можном перемещении системы равна нулю.

В этом и состоит принцип возможных перемещений для механической системы.

Справедлив также и обратный 'вывод, т. е. . если сумма ра­ бот всех действующих в механической системе активных сил при возможном перемещении системы равна нулю, то систе­ ма находится в равновесии.

Математически необходимое и достаточное условия рав­ новесия любой механической системы с идеальными связями

бхк, бук, 6zk — проекции на оси координат возмож­ ных -перемещений точек приложения активных сил системы.

Любое твердое тело является идеальной связью для всех своих точек, так как расстояния между точками приложения внутренних сил тела при его движении не изменяются и по­ этому сумма работ всех внутренних сил тела равна нулю.

Для того чтобы определить, является ли данная механи­ ческая система системой с идеальными связями, необходимо рассмотреть все соединения твердых тел этой системы.

Если соединения твердых тел в механической системе осу­ ществляются с помощью 1) гладких соприкасающихся по­ верхностей, 2) подвижных или неподвижных шарниров, в ко­ торых отсутствует трение, такие механические системы будут системами с идеальными связями.

Если в вышеперечисленных соединениях механических си­ стем действуют силы трения, такие системы можно считать системами с идеальными связями в том случае, если отнести силы трения к активным силам системы и считать их задан­ ными.

Если в механические системы, кроме твердых тел, входят

упругие тела (пружины), такие системы также можно счи­ тать системами с идеальными связями, если вместо пружин к

170