Файл: Черный Ф.Б. Теория электромагнитного поля курс лекций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.07.2024

Просмотров: 130

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Учитывая эти соотношения, найдем выражения для плотности энергии электрического поля wa и плотности энерги магнитного поля wK. Имеем

E D — 2 - i [ E [ n " , H ] = 5 l n O [ E > H ]

wu= 4Г-^нв- Х і І г Н І ^ Е І - е - І Е . Н І

и, следовательно, плотность энергии электромагнитного поля рав­ на

 

w=wB+wH~

~ S .

 

 

Отсюда находим

 

 

 

 

 

w

w

 

 

где s0 — единичный вектор в направлении

вектора

Пойнтинга.

Величина

 

 

 

 

есть лучевая скорость волны.

*

 

 

Таким образом,

получаем

 

 

 

 

-Ѵф = ѴлСО*($0,П0)=ѴлСО5а,

 

(6)

где а— угол м е ж д у

векторами s0

и п°. Замечаем,

что

 

Ѵф<ѵл.

 

 

 

3. Уравнения для определения

фазовой

и лучевой скоростей

Итак, процесс распространения плоской волны в анизотропной

среде характеризуется

5 векторами Е, D, Н,

п°, s0,

причем

вектор

H перпендикулярен .всем остальным векторам. Отсюда следует, что

векторы Е, D,

n°, s° компланарны, то есть

л е ж а т в одной

плоскости.

Ориентация всех векторов друг относительно

друга

ясна

из

рис. 2.

П о д с т а в л я я

вектор

H

из

соотношения

 

 

 

 

 

 

(4) в соотношение

(5),

находим

 

 

 

 

 

 

 

D = - ^ — [ n ° [ n ° , E ] U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s°

 

 

 

 

= ^ - ( Е - п О ( П ° Е ) ) = = ^ - Е , ;

(7)

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ѴфР-а

 

 

ѴфРа

 

 

 

Рис.

2

 

 

n°(n°E) — э т о продольная

составляющая

вектора

Е

 

по

направ ­

лению п°; Е х — поперечная составляющая

вектора

Е

к

тому ж е

направлению .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

91

Соотношение

 

D = - 4 — ( E - n ° ( n ° E ) )

(8)

и есть искомое векторное уравнение для определения фазовой ско­ рости Ѵф в анизотропной среде.

Найдем аналогичное уравнение для определения лучевой ско­

рости

ѵл. Поскольку

D_[ п°, то, как видно из

рис. 2, поперечная со­

с т а в л я ю щ а я вектора

Е к вектору п° равна

продольной составля­

ющей

этого ж е вектора по вектору D, т. е.

 

П о д с т а в л я я это выражение для £ х в (7), и получаем

У м н о ж а я

скалярно обе

части

этого

равенства на D, находим

 

D 2 = - 4 — ( E D ) ,

то есть

 

 

 

 

 

 

D2

1

 

 

 

(ED)

 

 

или

 

 

 

 

 

D'cos д =

c o s ? a

 

 

 

ED

vlv„

-

Учитывая

здесь формулу

(6),

получаем

 

D2 COS a _

1

 

или

 

 

 

 

&viva

Д а л е е , принимая

во внимание,

что поперечная

с о с т а в л я ю щ а я

вектора D к s0 равна

продольной

составляющей этого вектора по

Е, то есть

 

 

 

D,=D-sVD)=(d-|-)-§-,

 

находим

E = < D > f l ( D - s » ( s ° D ) ) .

(9)

 

Это и есть искомое векторное уравнение д л я определения луче­ вой скорости ѵл.

92

 

 

 

4.

Определение

фазовых

скоростей

 

Формулы

(8)

и

(9) являются

следствием

уравнении

Максвелла

и поэтому

не зависят

от свойств

среды .

 

 

 

Теперь

включим

в паше рассмотрение

материальные уравне­

ния. Выберем

в

качестве координатных

осей

главные

направления

тензора диэлектрической проницаемости. В этом случае соотноше­ ния получаются достаточно простыми.

Введем, как

и

прежде,

обозначения

гХ 1 . = et,

вуу

— г2 , е „ = е3 ,

а индексы х, у,

z

заменим

числами

1, 2,

3. Тогда

векторное урав ­

нение (8) представится следующими

3 скалярными

уравнениями

e o £ l ^ = - ^ - ( £ , - < ( n ° E ) ) ,

О б о з н а ч а я — - — , — - — , — - — с о о т в е т с т в е н н о в ы р а ж е н и я м и

ѵ\, ѵ\,

ѵ\,

 

 

Е оЕ іНл

Чв№а

е ое зНа

 

 

 

 

 

к

 

эту

систему

уравнений

м о ж н о

представить

в

в и д е

 

 

 

 

 

 

f i = 4 ( ^ - " 0 ( n ° E ) ) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£ 2 = 4 ( ^ - « S ( n ° E ) ) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е3=^(Ев-п°(п°Е)),

 

 

 

 

 

 

 

откуда

п о л у ч а е м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р _

«

\

" , ( " ° Е ) ,

 

 

ѵ\

4[М).

P _

v

l

»§(n°E)

 

С j

 

,,

„

-

,

 

С2

9

0

j

£.3—

2

9

 

 

 

 

Ф 1_ .

 

 

 

Ф __£

,

 

 

Ф _JL 1

 

 

 

 

V l

 

 

 

 

 

ѴФ

 

 

 

 

Vl

 

 

У м н о ж а я

л е в ы е

и

правые

части

этих

равенств

на

/г°,

л§,

соответственно

и с к л а д ы в а я

их,

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

02

9

 

02

'

02

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф _ i _

J

Ф 2 j

ф _3_

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ѴІФ

 

 

VФ

 

VФ

 

 

 

 

 

93

С л е ва и справа вычитаем \==na]2 + nf+n°32 и окончательно по­ л у ч а е м

п0.2

 

л° 2

nf

(10)

1

1

-

3

=0.

V \ - V l

 

К ~ Ѵ 2

 

ѴФ~Ѵ'3

 

Это так называемое уравнение волновых нормалей относитель­

но квадрата фазовой скорости ѵ~у Уравнение квадратное, в чем

можно убедиться, умножив его на произведение

Таким образом, получаем,

что структура

анизотропной

среды

допускает распространение

в

любом данном

направлении

двух

плоских линейно поляризованных

волн

(между

составляющими

поля нет сдвига фаз) , распространяющихся с

разными фазовыми

скоростями, причем к а ж д а я

из этих

волн

может

распространяться

вдвух противоположных направлениях .

5.Определение лучевых скоростей

При тех же условиях, что приняты в предыдущем пункте, пред­ ставим векторное уравнение (9) в виде трех скалярных и получим

^2 = ! ^ 2 , е о ( е 2 Ё ' 2 - « 2 2 5 ? £ > );

£ 3 = I V ^ o ( ^ 3 - s h X £

Отсюд а

Е1

 

'

0

 

 

Ег

 

2 2

 

 

*;s,

 

 

 

 

f A s 2

 

^а^Е/Ч

 

ѵ\

'

e o.a a.Ss ?'Ê ''e '

 

 

-о!^а S S ;

 

Ѵл

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѵ3

 

 

 

У м н о ж а я левые и правые части

 

этих

равенств

на S\°, s2 °, s3 ° со­

ответственно и складывая их, будем слева иметь

0 и в результате

получим уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,02 '

 

„02

 

 

02

 

 

J _

1

1

2

_і_

J

3

_ п

 

1_ 1 J

 

1_ 1

 

 

1_

 

О

 

О

1 2

 

-]~ У.

1 . —и.

 

V ï

V l

Ѵ2

Ѵл

 

 

Ѵ3

V l

 

 

Это — квадратное

 

уравнение

 

относительно ѵ\. Следовательно,

к а ж д о м у направлению

вектора

s0

 

соответствуют

два разных зна­

чения к в а д р а т а лучевой скорости.

 

 

 

 

 

94

ЛЕКЦИЯ 16

ВО Л Н О В ЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ НАЛИЧИИ ГРАНИЦЫ

РА З Д Е Л А ДВУХ СРЕД . ФОРМУЛЫ ФРЕНЕЛЯ

1.

Законы отражения и преломления плоских волн.

2.

Формулы

Френеля

при вертикальной поляризации.

3.

Формулы

Френеля

при горизонтальной поляризации .

1. Законы отражения и преломления плоских волн

Решение задачи об отражении и преломлении плоских волн на границе раздела двух сред находит широкое применение в теории распространения радиоволн и в оптике.

Пусть на границу раздела сред падает плоская волна. Возму­ щающее действие границы, как м о ж н о предположить, сведется к

появлению отраженной

и преломленной

волн.

Л ю б а я плоская волна в отдельности

является решением уравне­

ний Максвелла . Однако

д л я того, чтобы указанные волны представ­

ляли собой решение задачи, необходимо, чтобы они совместно с па­

д а ю щ е й волной удовлетворяли

граничным условиям на поверхно­

сти раздела сред.

 

Итак, пусть напряженность поля падающей волны

С С аЯи>'—к>пі')

Ь / = Ь о і £

' '

а напряженности полей отраженной и преломленной волн соответ­ ственно равны

где К\= — V [ h e i = — » і - к2=—у

| і 2 е 2

= — л, (среды считаем д и ­

электриками).

 

 

Н а п р а в л е н и я распространения

будем характеризовать углами

( р и с . 1 ) :

 

 

<Р/—угол падения; этот угол считаем

известным;

<Ря и ф— искомые углы отражения и

преломления;

95

Смотрите также файлы