Файл: Черный Ф.Б. Теория электромагнитного поля курс лекций.pdf

Мы

хотим

сконструировать решение

задачи из плоских

волн,

составляющие

векторов

которых имеют

вид (1) и (2). Неизвест­

ными

в этих

выражениях

являются

постоянные амплитуда

волны

\U\ и

у г о л <р ее падения

на границу

слоя.

Очевидно,

что мы д о л ж н ы различать

здесь

два вида

поляриза ­

ц и и — горизонтальную

и

вертикальную.

Д л я

краткости

горизон­

кально п о л я р и з о в а н н у ю — Г М - в о л н о й . Итак,

будем предполагать,

что искомые составляющие

векторов поля

таковы:

Г Я - в о л н а

77И-волна

Е=Еу=иЕ(г)е^ШІ~к^"аіп^;

H=/Уy=U'

и(г)еНш'-"°хп%',п^\

Нх=

\yH(z)e>{-mt-l<»x"sin^\

Еѵ=

— V

Е(г.)е№-к°хпзіГІ,*\

Hz=WH(z)e^""~K-Y"tin^;

Ez=—\VE{z)e^l~^xn^

(3)

Ех=Ег=0,

Hy=0.

Hx=Hg*=0,

Ey=Q.

2.

Аналогия с

процессом

в

длинных

линиях

Подставим в уравнения

Максвелла

rot

Е = — Д о ц в Н ;

rot

Н = / ш е 0 Е

выражения

(3), предварительно записав эти уравнения

в скалярной

форме:

Г Е - в о л н а

ТѴИ-волна

дЕ

•

дЕх

дЕ,

.

и

дЕ

.

г,

дН

.

г,

—=-1щаНг;

-^=-jwzaEx;

дНх

~

дНг

.

дН .

-

IF

-Ыс

ёГ

=l™*Ez-

Отсюда

следует:

~;

dUF

,

dVE

-^~ІЩ^н\

-

-%г

-JK0nsin<fWE=-iw^aUH;

m

«yzsin

<p »,

DUH

;

,/ .

—

+jK0nsm

? WH=jwznUE.

WE=

"m,

4

UH.

dz

г а '

dz

dVH

dVE

- y = / u ) e a c o s 2 < p £ / £ ;

-fi-

~JM\iaCOS2<tüH.

Сопоставим

эти две системы

уравнений с телеграфными уравне­

ниями:

dU

. . ,

/ ( : ) = / - ^ s i n ß ; + / K c o s ^ ; ,

где

£Ло

— напряжение и ток в конце линии;

С— координата, отсчитываемая

от конца линии:

Результаты

сопоставления

приведены

ниже:

Г £ - в о л н а

ТѴИ-волна

иЕ--и,

UH-+I,

Ѵн-+І,

VE-+U,

Ь 1

Z.

-

л

f Ѵ-о

_

_

/

V

^os9=ZBcos^ZeH,

" ^ с - Б І ^ - с - Б І ^ » * '

UE((,) =

UEKCOS

ßC-нѴя«

. W

) = V £ „ c o s p C + ; t / w « Z e c o s <psin|»C,

l / „ ( Q = / ^ c o s

« p s i n ß C + V W o s ß C ,

c 7 w ( C ) = / - ^ - s l n p C + c / w „ c o s ß C (4)

Д л я

конструирования

решения

задачи

из приведенных, выше

формул

удобно

пользоваться

матричным

исчислением. В связи с

этим напомним

элементарные

правила

матричного

исчисления.

К в а д р а т н а я

матрица

/ьго

порядка

записывается

так:

'ап

а12...а1п

I

І = А.

і<з„, а „о

...а„

л

с , 7 =

~2iaiKbKJ.

Матрица может состоять из одного столбца, например

матрица -

столбец

Произведением квадратной

матрицы

А и матрицы - столбца

О н а

зывают матрицу-столбец Р, элементы которого

равны

п

Рі =

HjUIhCJk.

Л = 1

П ри внимательном

взгляде

на в ы р а ж е н и я

(4) о б н а р у ж и в а е м ,

что

в случае Г-Е-волны

эти в ы р а ж е н и я

представляют собой

матри­

цу

столбец

j

- ^ - sin ßC

, COS* ,

nr

/ - T - ' - s l n ß i .

cosßC,

на матрицу

столбец

т. е.

C M Q = M £ ( C ) Q f , .

(6)

Аналогично,

как

нетрудно заметить, что д л я

ТѴИ-волны

где

0я(С)=Мя(С)0ял-,

(7)

с/я,

jZgCOS cpsin [К

(8)

cos ߣ

Матрицы

(5)

и

(8) называются

характеристическими матрица­

ми слоистой

среды.

Заметим,

что определитель обеих

матриц равен единице.

4. Решение

задачи

Мы установили полную аналогию задачи

о

распространении

электромагнитных волн в многослойной среде

с задачей о распро­

странении волн напряжения и тока в последовательно

соединенной

цепи отрезков длинных линий. Д л я

того чтобы

вычислить

напря­

жение

и ток

в некотором отрезке этой цепи, достаточно знать

пара­

метры

этого

отрезка линии и нагрузку на ее конце. В

рассматрива ­

емой задаче

ситуация вполне аналогична. Д л я

того,

чтобы

вычис­

логию теории

матриц, характеристическую

матрицу данного

слоя,

и матрицу - столбец амплитуд составляющих

поля.

Характеристическую матрицу к а ж д о г о слоя можно вычислить по

значениям коэффициентов преломления в

к а ж д о м

слое, используя

д л я этого закон Снеллиуса.

Итак, пусть требуется определить поле

внутри

первого

слоя

(рис. 1). Согласно формуле (6) или (7) можем написать

03)

Допустим, что нам известна матрица Q на границе ІѴ-го слря,

тогда согласно

(9) можно написать