Файл: Черный Ф.Б. Теория электромагнитного поля курс лекций.pdf

2.

Условие Лорентца и

волновые уравнения д л я потенциалов.

3.

Скалярный з а п а з д ы в а ю щ и й

потенциал.

4.

Векторный з а п а з д ы в а ю щ и й

потенциал.

1. Введение электродинамических скалярного и векторного

потенциалов

Д о

сих пор мы изучали поле электромагнитных волн, не инте­

ресуясь источниками электромагнитного поля. Теперь

ж е мы дол­

ж н ы рассмотреть вопрос о

том, как связано электромагнитное по-,

ле с его источниками, т. е.

как .излучаются электромагнитные вол­

ны. В

этом случае должна

решаться полная система

уравнений

токи и з а р я д ы

д о л ж н ы считаться известными.

Итак, требуется решить систему уравнений

I .

r o t E = - w ;

I I .

rot H -

I I I .

d i v D = p ;

I V .

d i v B = 0

при заданных

плотностях

T O K a ' j и з а р я д а

р.

Уравнение

I V сразу

удовлетворяется

введением в шторного.по­

тенциала

B = r o t A .

(1)

П о д с т а в л я я это

в ы р а ж е н и е

для

В

в уравнение

(1),

получаем

rot

Е = - - ^ - r o t

А

или

г ° т ( Е

+ Ж

Отсюда следует,

что

E + ^ - = - g r a d c p ,

(2)

т. е.

E = - g r a d c p - 1 F

,

где <р— скалярный

потенциал.

Будем считать,

что с р е д а — о д н о р о д н ы й

диэлектрик,

т. е

s„=const,

[Ar t =const,

о — О.

2. Условие

Лорентца и волновые уравнения

для

потенциалов

Учитывая

соотношения

D = er t E

н В = р.а ІІ,

подставляем

С )

и

(2)

в уравнение М а к с в е л л а

I I и

получаем

1 rot

rot А

=

-

- ^ ( g r a d

<?+

j s a + j .

Ра

Д а л е е используем

векторное

тождество

rot rot A = g r a d div А — y 2 A ,

где

V2 — оператор

Л а п л а с а ,

применяемый

к

прямоугольным со­

ставляющим вектора

А и находим

- Ѵ 2 А + > і а е а ^ —

-

grandi v A - | - | i e 6 e ^ . j + | * J .

П о л а г а е м , что

d i y A + i v e ^ - = 0 ,

(3)

и получаем

волновое

уравнение д л я , в е к т о р н о г о потенциала

А:

V 2 A - ( V a ^ 7 r = - p J .

(4)

Соотношение (3) называется условием Лорентца .

На

условии

Лорентца мы еще остановимся несколько позже.

Найдем т а к ж е

уравнение

для <р. Д л я этого

подставим

(2)

в

уравнение М а к с в е л л а

I I I и получим

Р е ш е н и я ми / могут быть функции

аргументов

t - J - ,

t

+

~ ;

1

скорость распространения

волны.

где ѵ = -У РяЕа

Ф у н к

ц и я — решение,

имеющее смысл

сходящихся к

источнику волн,— физически неприемлемо.

Функция

/ ^ / — - ^ - j — р а с х о д я щ и е с я

от

источника

волны — соот-

(5= •

V

Найдем функцию fy— ~J-Для

этого проинтегрируем

обе части

уравнения (5)

по

объему

сферы

радиуса

г и с центром

в точке

расположения

источника, т. е. з а р я д а q(t)

:

V

V

V

Устремим

/•->(), тогда

получим

< / Ѵ - > -

і

• А - л 3 = 0;

J

<)/а ц v

r

dt*

3

V

vdV=lgradrçdS-

J V2<f^ V^jdivgra d

V

V

5

Потенциал в точке, находящейся

на

расстоянии

г от заряда

q,

опре­

деляется значением

з а р я д а не в

момент

а

его

значением

в

более

ранний

момент t—Ш,

т. е. значением

q{^—-~-

j

. .Поэтому

потенциал

<р (г, /)

и называется

з а п а з д ы в а ю щ и м .

Если имеется

п

точечных з а р я д о в

(рис.

1),

то потенциал

этой

системы зарядов

в точке наблюдения

будет

равен

v V

' ( '

-

v )

( = 1

Отсюда, перейдя

к

непрерывному распределению зарядов в объе­

ме V (рис. 2), получим

4яе„і/

г

где

V

Рис.

1

Рис. 2

4.

Векторный з а п а з д ы в а ю щ и й

потенциал