Файл: Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.07.2024
Просмотров: 106
Скачиваний: 0
г г \
м у г ~ |
| |
j* [5 ( |
0 т-] |
I ? |
( * ) |
-m l dtd%\ |
- |
||
|
о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
т г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рч ■J |
J |
М {[€(*) |
— m ] f%(х) — тЦ] dt dx = |
||||||
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
т г |
|
X) d t dx = |
|
г |
г |
- х) dt dx |
|||
|
|
K i (t, |
т. |
|
Kt (t |
||||
о |
о |
|
|
|
|
|
о |
о |
|
Полагая |
t —x= s, |
х — х |
и учитывая, что dt dx — ds dx, |
||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т т |
|
|
|
|
|
T |
T-. |
Ki {s) ds . |
|
о о |
К ; (t - |
x) dt dx |
= |
|
|
j* |
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Меняя в последнем интеграле порядок интегрирования, по лучаем
_1 |
т |
т--. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
I dx |
Ki (s) |
ds = |
|
|
A"; (s) ds |
i |
dx + |
||||
Т |
т> |
|
|||||||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
T-s |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
+ |
K% (s) ds 1 dx |
M |
i |
(T -(- 5) Kt (5) ds 4~ |
|||||||
f |
J |
\ - |
T |
|
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
+ |
(T |
- s) Ki (S) ds |
= |
- f r |
j (T |
- |
I 5 I) Ki (s) ds = |
||||
\ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
css |
|
Ki, |
(s) |
ds |
< |
j |
Ki |
(s) |
ds |
, |
|
--- |
|
||||||||||
|
T |
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - |
I t |
|
< |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
70
Из условия (1) следует, что при TWoo
|
|
Ki (s) |
ds -> 0 , |
а с ним и |
|
|
|
у - |
1 - - ^ - ) K t ( s ) d s - > 0 |
||
и, что самое важное, |
|
|
|
|
Т |
£ (/) d t — г щ \= 0 , |
|
|
|
|
|
т. е.- |
|
|
|
|
Ы.ш. —у — J |
£ (О d t = mi . |
|
|
|
о |
|
Теорема доказана.
Так как из сходимости в смысле среднего квадратического вытекает сходимость по вероятности, то из доказанной теоре мы следует: каково бы ни было е>0, при достаточно боль шом Т с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, вы полняется неравенство
|
|
|
г |
|
|
|
|
— |
\% (t) d t — |
< e . |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
О |
|
|
Это означает, |
что какую бы ни взяли реализацию x(t) |
||||
процесса |
£ (t), значение интеграла |
|
|
||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
x ( t ) d t |
|
|
|
|
|
о |
|
|
с вероятностью, близкой к единице, отличается от |
/гае меньше |
||||
любого |
е > 0, если, |
конечно, Т достаточно велико. |
|||
Этот важный |
факт позволяет с вероятностью, |
близкой к |
|||
единице, и с наперед заданной точностью находить математи ческое ожидание процесса 5 (t) путем осреднения по време ни любой отдельной его реализации x(t) на достаточно боль шом промежутке времени (О, Т ).
71
Если стационарен не только процесс q (t), но и процесс
ОО
д{t) = £ (г) £ (£ + х), где х — любое действительное чис
ло, то достаточным условием эргодичности процесса д (i) по отношению к математическому ожиданию (и, следовательно, эргодичности процесса £ (t) по отношению к корреляционной функции Кь (х), ибо
|
Ki (X) =• М I |
(t) \ (t + х) = |
М д (*)) |
|
будет следующее условие: |
|
|
||
|
|
|
г |
|
|
Пт |
— |
Г ЛГ-ч (х) rfx = |
О |
|
7’—>СО |
■/ |
] |
|
или, что то же, |
|
О |
|
|
|
|
|
||
|
т |
|
|
|
Нт^ — |
J Ж {5 (f + х + s) £ ( t 4-х) £ (t f s) £(t)} dx=Kf(s), |
|||
|
о |
|
|
|
где s — также любое действительное число.
Подытоживая все вышеизложенное, можно так дать опре деление эргодичности стационарного случайного процесса.
Определение. Стационарный случайный процесс 5 (£) на зывается эргодическим по отношению своих основных харак теристик и Кь (х) или просто эргодическим, если обе эти характеристики с вероятностью, сколь угодно близкой к еди нице, могут быть получены осреднением по времени любой от дельной реализации x{t) процесса ? (/), когда время осред нения достаточно велико.
Таким образом, для эргодических случайных процессов от дельная реализация является как бы «полномочным предста вителем» всех возможных его реализаций.
Отдельная реализация эргодического процесса в среднем достаточно «полно» представляет характерные особенности, присущие всем или «почти всем» возможным реализациям это го процесса. А это для практики и представляет большую цен ность.
Рассмотрим простейшие примеры.
Пример 1. Случайный процесс задан разложением
|
£ (() |
= 2 + £i cos (at + Е;, sin шt |
, |
где |
и ?2 — независимые случайные величины с нулевыми |
||
математическими |
ожиданиями и дисперсией, |
равной о2, а |
|
со — действительное число. Будет ли процесс |
£ (t) эргодиче |
||
ским? |
|
ч |
|
72
Решение. Вычислим характеристики процесса £ (t) й вы ясним, является ли он стационарным:
|
т% (г?) = М (2 + |
£;, cos шг? |
+ |
tj2 sin |
= |
|
|
= |
2 -(- cos иг! уИ |
+ sin |
|
/И = |
2 . |
K%{tu |
t2) = |
Ж5°(^) €(^2) = ^C5i cos ш^ + ?2 sin co/fj)^ cos <at2 + |
||||
-f ?2 sin co£2) = МЩ cos co^ cos ш/2 + |
МЦ sin |
sin a t2 + |
||||
+ |
M 5x £2 cos co^ sin |
+ M |
£2 cos Ы2 sin co^ = |
|||
= o2 cos со/, cos ait2 + a2 sip co^ sin шt2 =
= o2 cos a) {t2 — tj) = a2 cos cot: .
Следовательно, процесс £ (t) стационарен в широком смысле. Достаточное условие эргодичности процесса по отно шению к математическому ожиданию также выполняется, так как
|
т |
|
Т |
lim — |
— Г |
К%(х) rfx = lim |
f.— Г cos <вх rfx = |
Г—>■W 7 |
J |
Г-> вэ |
* J |
|
о |
|
о |
О2
— lim — т=г sin соТ — О
Т-уео 0)7
и процесс ^ (() эргодическнй по отношению к математическо му ожиданию.
Значительно сложнее проверить выполнимость достаточно го условия эргодичности процесса по отношению к корреляци онной функции, ибо для этого потребовалось бы находить центральный смешанный момент четвертого порядка, что не всегда возможно, так как для вычисления момента четверто го порядка необходимо располагать четырехмерной плот ностью распределения U(xi, х2, Хз, х4; tь /2, t3, ti). В нашем примере не задан даже одномерный закон распределения про цесса Е, U), не говоря уже о четырехмерном. Если процесс нор мальный, то для эргодичности процесса достаточно выполне ние условия
т
Иш —^г- j* (х) rfx = 0 .
U
73