Файл: Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.07.2024
Просмотров: 105
Скачиваний: 0
Предположим, что случайные величины |
и £2 распреде |
||
лены по нормальному закону, |
а тогда и процесс £ (() как ли |
||
нейная функция аргументов |
и |
тоже |
будет иметь нор |
мальное распределение.
В этом случае |
|
|
|
||
|
|
г |
|
|
т |
lim |
——— Г А7 (х) dx = |
lim |
— |
Г cos2 шх dx ~ |
|
|
I |
j |
г-»-» |
/ |
J |
|
|
о |
|
|
о |
= |
g L |
~2Т~ (х + |
sin 2 шх) [ |
= Ч г ф 0 |
|
и процесс £ (() не буде.т эргодическим по отношению к корре ляционной функции.
Пример 2. Характеристики стационарного случайного про цесса заданы:
|
mi-== т,- |
АГе (т) = |
De_l|TI cos рх |
(а > О, |
D > 0) . |
||||
Будет ли процесс -Е, Ц) эргодическим по отношению к ма |
|||||||||
тематическому ожиданию? |
|
|
|
вопрос |
утвердителен, |
||||
|
Решение. |
Ответ |
на |
поставленный |
|||||
так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
J |
К%(х) dx = |
- |
j* |
е~а~cos 9х dx < |
||||
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
т |
|
|
|
|
D |
|
|
|
< |
D |
е~а~cos рх dx |
< |
■J |
е~а~|cos рх |dx < |
||||
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
< - DT - Г в — ^ = — г - (1 — в - ‘ г) -> о |
||||||||
при Г —od и, следовательно, |
|
|
|
|
|||||
|
|
lim |
у |
- |
j |
^ |
( Т |
) rf x = |
0 |
|
|
ес |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Достаточное условие эргодичности процесса по отношению к математическому ожиданию выполняется.
Если процесс Е, (t) нормальный, то он будет эргодиче ским и по отношению й- корреляционной функции, так как
1 |
т |
|
г |
ГD 2 |
|
|
|
т |
J |
Т |
о |
г |
о |
|
|
|
|
|
о
Рассмотренные примеры показывают, что проверка условий эргодичности случайного процесса весьма затруднительна. Кроме того, исследователь, наблюдая течение случайного прОг цесса, не располагает не только законами-распределения это го процесса, но и не имеет характеристик процесса., оценки ко торых он должен построить по наблюденной реализации про-- цесса. Об эргодичности наблюдаемого случайного процесса обычно судят интуитивно, исходя из основ физических сооб ражений, связанных с существом этого процесса.
Вопросы для самоконтроля
1.Какой случайный процесс называется стационарным в узком смысле?
2.Чему .равны математическое ожидание и дисперсия ста ционарного случайного процесса?
3.В чем характерная особенность корреляционной функ ции стационарного случайного процесса и какими она облада ет свойствами?
4.Какой случайный процесс называется стационарным в широком смысле?
5.Какие условия являются необходимыми и достаточными СК непрерывности, дифференцируемости и" интегрируемости стационарного случайного процесса?
6.Будет ли стационарным процессом производная стацио нарного случайного процесса?
7.Как определяются основные характеристики, производ ной стационарного случайного процесса?
8.Будет ли стационарным процессом интеграл стационар ного случайного процесса?
9.Какой случайный процесс называется эргодическим по отношению к математическому ожиданию. Какой смысл.'вкладывается в понятие эргодичности?
10.Сформулируйте теорему Хинчина.
11.Сформулируйте эргодическую теорему о достаточных условиях эргодичности.
75-
i 2. Какой процесс называется эргодическим по отношению
ккорреляционной функции?
13.Как можно найти основные характеристики эргодиче-
ского случайного процесса?
14. По каким критериям определяется эргодичность слу чайного процесса на практике, в эксперименте?
|
|
|
|
Упражнения |
1. Случайный процесс С(t) |
задан разложением |
|||
£ (t) |
= |
1 + |
cos Wj t -f- £2 sin ci^ / + £3 cos u>2 1 + £4 sin co2 1 , |
|
где |
£, |
(i= l, |
2, 3, 4) попарно |
некоррелированные случайные |
величины с нулевыми математическими ожиданиями и диспер сиями
^ |
|
вя 2; Dzа = |
= 3 . |
|
Найти характеристики процесса |
£ (О- |
|
||
Будет ли процесс |
£ (t) стационарным в широком смысле? |
|||
О т в е т : |
|
|
|
|
mz = 1, Kz (х) |
= |
2 cos ш, х + 3 cos ю2 х , D z=- 5 . |
||
Процесс £ (г) стационарен. |
|
|
||
2. Корреляционная |
функция |
стационарного случайного |
||
процесса имеет вид |
|
|
|
|
Kz ( х ) = О2 |
(1 + а I х I) ( а > 0 ) . |
|||
Будет ли процесс £ (() дифференцируем и если да, найти корреляционную функцию и дисперсию его производной.
О т в е т : Процесс £ (/) дифференцируем. Если т) (t) — £' (t), то
А Г ,( х ) = о2 а2 е~а№(1 — а | х | ) .
3. Сколько раз дифференцируем случайный процесс £ (/), если
Kz (t) = е -« 2 (а > 0) .
От в е т : Сколь угодно раз.
4.Корреляционная функция случайного процесса £ ( t )
имеет вид
Kz (х) = °2 е -а|т|^1 + а I х I + i - as x2\ (а > 0) .
76
Определить корреляционную функцию и дисперсию процес са т) (£), если
Ti (О |
(О +- |
d2 с (t) |
|
dt- |
|||
|
|
О тве т:
/<7|(т) = о2e-aix|! 1+ « |х |+ or т2+
+(а2х2-а|х1 - 1) + —^— (а3х2— 5 ®|т|— 3)|;
|
D7I = о2 | |
l - |
| a ! - 3 а-'j • |
5. |
Корреляционная функция стационарного случайного про |
||
цесса |
(f) имеет вид |
|
|
|
Kt (х) |
= |
D cos шт . |
Найти корреляционную функцию и дисперсию процесса
т/(0 = [ £ (х) dx .
о
О тве т:
Дг, (/[, /2) |
— |
D |
{ 1 + |
COS Ш( t 2 — 1 1) |
-- COS Ш2?2 — COS Ш^} |
|
со |
||||||
■О,, (f) |
— |
|
■ (1 — cos ш^) . |
|
|
|
6. |
По корреляционной функции |
А$ (т) |
стационарного слу |
|||
чайного процесса £ (0 |
найти корреляционную функцию связи |
|||||
процессов £(0 |
и t\(t), |
если |
|
|
||
|
4(0 = 2§(о •-зе'(О+§*(*)• |
|||||
О т ве т : |
|
|
|
|
|
|
|
К « ч ( х ) = 2 Кь ( х ) - 3 К\ ( х ) + |
( х ) . |
||||
7. Корреляционная функция стационарного случайного про цесса имеет вид
Является ли процесс | (£) эргодическим по отношению к математическому ожиданию?
От ве т . Да.
8.Будет ли эргодическим по отношению к математическому ожиданию и корреляционной функции нормальный случайный
процесс £(/)> если
Ki ( т ) = D e - « 3 ? ( а > 0 ) ?
О т в е т . Да.
9. Показать, что процесс
к=\
где — попарно некоррелированные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями Dk = a2k, обладает свойством эргодичности по отношению к
математическому ожиданию и корреляционной функции, если все распределены нормально.
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ 3 СТАЦИОНАРНЫХ
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Пусть рассматривается некоторый |
стационарный случай |
|
ный процесс £ (t) с математическим ожиданием /щ |
и корре |
|
ляционной функцией Kz. (~). Предположим, что £ (V) |
случай |
|
ный ток (или случайное напряжение), |
подающийся на вход не |
|
которого четырехполюсника. Тогда на выходе четырех полюсника имеем преобразованный случайный ток Если четырехполюсник линейный с постоянными парамет
рами, то методами, рассмотренными в предыдущей главе, по
характеристикам т$ и |
(т) можно определить характерис |
|||||
тики mn(t) |
и Кт) (t 1, tz) отклика |
Однако нас |
могут |
ин |
||
тересовать не только средние значения процессов £ (t) |
и ?) |
(£), |
||||
но и спектральный состав их флуктуационных частей |
|
|
||||
1 (0 |
= К, (t) — т* |
и т]° (0 = |
Tj (t) — (t) . |
|
|
|
Кроме того, |
когда известен спектр процесса t, (t), |
то, |
как бу |
|||
дет показано ниже, относительно просто определяется корре ляционная функция АГт] (т) процесса т) (£) при установив шемся режиме.
Напомним, что понятию «спектр», обязанному своим про исхождением оптике и широко применяемом в математике, фи зике и технике, приписывается вполне реальный физический смысл: спектром некоторого колебательного процесса называ ется функция, описывающая распределение амплитуд по час тотам (амплитудно-частотный спектр). Рассматривают и фазо частотные спектры, описывающие распределение фаз по час тотам.
Амплитудно-частотный спектр данного процесса раскрыва ет его Внутреннюю структуру, показывает, колебания каких частот преобл'а'дайт в этом процессе. Эта глава посвящается1 методам изучения спектрального .состава стационарных слу чайных процессов’. ' ............... ' '..................i „л :
79