Файл: Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов.pdf

Из теории рядов Фурье и курса ТЭРЦ известно, что одни детерминированные функции имеют дискретный (линейчатый) спектр, а другие — непрерывный (сплошной).

Дискретным спектром обладают периодические и почтипериодические функции *, непрерывным — непериодические функции. Случайные процессы также бывают с дискретными и непрерывными спектрами. Рассмотрим классы таких стацио­ нарных процессов.

§ 1. СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ С ДИСКРЕТНЫМ СПЕКТРОМ

Отметим сразу, что стационарный случайный процесс бу­ дет иметь дискретный спектр только в том случае, когда в его природе заложена «скрытая периодичность» (например, си­ нусоидальные токи и напряжения со случайными амплитуда­ ми и фазами). Простейшим примером стационарного случай­ ного процесса с дискретным спектром является случайная гар­ моника

g (t) = A cos (a t -Ь ©) ( а — const) .

Спектр ее будет состоять из одной линии.

Возникает вопрос: какой же длины построить эту линию, при условии, что амплитуда А является случайной величиной? Ранее мы вычислили характеристики случайной гармоники

средняя мощность, развиваемая гармоникой на единичном со­ противлении в течение периода, пропорциональна квадрату амплитуды гармоники. Покажем, что средняя мощность слу­ чайной гармоники пропорциональна ее дисперсии. Действи­

Такой функцией является, например, колебание, периодически модулиро­ ванное по амплитуде.

80

а средняя мощность флуктуационной части l{t) равна мате-

О

матическому ожиданию квадрата £2 (t):

N cp = М Ь (t) = Ds .

Дисперсия случайной гармоники равна о'\ поэтому ее спектр имеет вид (рис. 6).

Итак, для построения амплитудно-частотного спектра ста­ ционарного случайного процесса достаточно знать его корре­ ляционную функцию и построить спектр корреляционной функ­

была периодической функцией. Тогда ее можно разложить в ряд Фурье, и, следовательно, спектр корреляционной функции будет дискретен. Если корреляционная функция Кг (т) почтипериодическая функция, то и в этом случае ее можно представить в виде конечной или бесконечной суммы гармо­ ник различных частот, но не целых кратных некоторому чис­ лу со, а значит спектр корреляционной функции будет дискре­ тен. Так как корреляционная функция Кг (т) четная и если она периодическая или почти-периодич^ская функция, то всег­ да можно представить ее в виде

периодическая функция. В разложении (1) коэффициенты при cos а)Ат всегда будут положительны и равны дисперсиям со-

ответствующих гармоник, ибо каждый из этих коэффициентов пропорционален средней мощности соответствующей гармони­ ки — величине положительной.

Если корреляционная функция представима в виде (1), то ее спектром будет совокупность чисел (о|, ш*) (/г= 1, 2,...).

Итак, мы пришли к следующему заключению: для того что­ бы стационарный случайный процесс имел дискретный спектр, необходимо и достаточно, чтобы его корреляционная функция была периодической или почти-периодической функцией.

Остается выяснить, каким условиям должен удовлетворять случайный процесс, чтобы его корреляционная функция была периодической или почти-периодической.

С этой целью обратимся к примерам. Пусть

ванных случайных гармоник различных частот. Очевидно, что

12

где x = t2 — /, .

Процесс E (/) стационарен. Его корреляционная функция

тен. Он представлен на рис. 7.

83