Файл: Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов.pdf

При сделанных допущениях относительно случайных величин

и почти-периоднческой функцией, если кратности между час­

является суммой бесконечного ряда взаимно некоррелирован­ ных случайных комплексных гармоник, причем все ЖЕ* = О, a /ЭЕ* = о2. Этот процесс стационарен в широком смысле, так

как (t) — 0, а

зависит только от разности аргументов fi—/2= т:. Если все wk соизмеримы, то корреляционная функция представлена рядом

представимы в виде конечной или бесконечной суммы взаимно некоррелированных действительных или комплексных случай­ ных гармоник, будет периодической или почти-периодической функцией. Такие случайные процессы называют процессами с дискретным спектром.

Можно доказать, что, если корреляционная функция ста­ ционарного случайного процесса t (0 является периодиче­

84

ской или почти-периодической функцией, то такой процесс представим в виде (2) или (3). Другими словами, всякий ста­ ционарный случайный процесс с дискретным спектром пред­ ставим в виде конечной или бесконечной суммы взаимно не­ коррелированных случайных гармоник с нулевыми средними значениями и дисперсиями of.

Заметим, что если корреляционная функция Kz (т) ста­ ционарного случайного процесса Е; (t) периодическая или поч- ти-периодическая функция, то она не стремится к нулю при

ство используют для обнаружения «скрытой периодичности» случайного процесса.

Итак, стационарные случайные процессы, обладающие «скрытой периодичностью», имеют дискретный спектр. После­ довательность чисел (°l, coft) (£ = 1 ,2 ,3, . .. ) показывает от­

носительный вклад каждой отдельной случайной гармоники в образование случайного процесса. Каждое из чисел of про­

порционально средней мощности соответствующей гармоники,

S5

Ционарный случайный процесс ё (t), ибо по спектру легко вос­ становить его корреляционную функцию

функции стационарного случайного процесса Ё (t). Спектраль­ ная функция определяется равенством

3. Спектральная функция — неубывающая функция.

4. Спектральная функция S (ш) непрерывна слева

^ (ша — 0) = S (wft) .

§2. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

СНЕПРЕРЫВНЫМ СПЕКТРОМ

Пусть стационарный в широком смысле случайный процесс Ё (t) не принадлежит к классу случайных процессов с дискрет­ ным спектром. Тогда его корреляционная функция Ki (х) не будет периодической или почти-периодической, и, следователь­ но, она не представима в виде суммы ряда косинусоид на всей оси Ох. Предположим, что процесс Ё (t) СК непрерывен. Тог­ да, как известно, его корреляционная функция Ац (т) будет непрерывной в обычном смысле при всех г. Если корреляци­ онная функция абсолютно интегрируема на всей оси Ох и в каждом конечном промежутке (а < х <Ь) удовлетворяет усло­

86

виям Дирихле (достаточным условиям разложения функции й ряд Фурье на данном интервале), то она может быть пред­ ставлена интегралом Фурье. В силу четности корреляционной функции, она представима косинус-интегралом Фурье

ОО

Введем обозначение

о

Равенства (2) и (3) представляют собой два взаимно об­ ратных косинус-преобразований Фурье для функций К е (х) и Se (со). Функцию

естественно назвать действительной спектральной плотностью амплитуд.

Определение. Стационарные случайные процессы, корре­ ляционные функции которых представимы интегралом Фурье, называются случайными процессами с непрерывным спектром.

Хотя мы определили стационарный случайный процесс с непрерывным спектром как процесс, у которого корреляцион­ ная функция представима интегралом Фурье, можно доказать, «то функция (т) будет корреляционной функцией стацио­ нарного в широком смысле случайного процесса £ (/) тогда и только тогда, когда она' представима интегралом Фурье. От­ сюда следует, что все СК непрерывные случайные стационар­ ные процессы — суть процессы с непрерывным спектром и са­ ми допускают представление, аналогичное интегралу Фурье. Приведем без доказательства следующую важную теорему.

87

Теорема. Всякий СК непрерывный случайный и стационар- > ный в широком смысле процесс представим в виде

со

Ъ(t) = т* + I" {Zj (ю) cos cot + Z2 (со) sin ш/} d<n , (5) 6

где случайные процессы Z,(u>) и Z2(co) взаимно некоррелированы, имеют нулевые математические ожидания и удовлетво­ ряют условию

Вместо полного доказательства теоремы приведем лишь нестрогие наводящие соображения.

Так как корреляционная функция h\ (т) удовлетворяет условиям Дирихле в любом конечном промежутке, то ее мож­ но разложить в ряд Фурье в интервале (—Т, Т). В силу чет­ ности корреляционной функции, ее ряд Фурье будет иметь вид:

88.