Файл: Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.07.2024
Просмотров: 98
Скачиваний: 0
Можно доказать, что корреляционная функция |
/<= (т) — |
положительно определенная функция * и поэтому все |
0. |
Равенство (6) справедливо только в интервале (—Т, |
Т), так |
как Ki (т) — непериодическая функция. На основании рассуждений предыдущего параграфа можно предполагать, что
равенство (6) определяет корреляционную функцию |
неко |
|||
торого стационарного |
случайного |
процесса |
с дискретным |
|
спектром. Обозначим этот процесс |
а его корреляцион |
|||
ную функцию — Л^(т). |
Тогда процесс Цг (£) |
представим в |
||
виде |
|
|
|
|
£г (t) = ПЧ + |
Ч cos |
t + bk sin Щ t , |
(7) |
|
Л= 1
где a k и b k — взаимно некоррелированные случайные величины, причем M ak =* МЬк = 0, D ak = D bk — Dk. Преобразуем ряд Фурье для корреляционной функции, домножив и поделив его
is ■
K l СО= £ |
cos |
(8) |
А=о |
|
|
Так как |
|
|
/гк |
k + |
1 |
ША-Н = ---- j,---- те |
||
ТО |
|
|
ДсОд — u)/, f-i |
шЛ — |
jt |
D Т
и величина — -— представляет собой среднюю плотность энертг
гии, приходящейся на участок Д©4. Обозначим эту среднюю плотность s r (шА) и ряд (6) перепишем так:
/<1 ( т ) |
= |
£ |
Sr ( ш* ) |
c o s |
^ |
Дсо* |
• |
(9 ) |
|
|
|
fc=0 |
|
|
|
|
|
|
|
* Функция f { t ) действительного |
переменного |
t называется |
положи |
||||||
тельно определенной в интервале — |
оо < |
t < оэ, |
если, |
каковы' бы ни былп |
|||||
действительные числа |
tt, |
t2, . : . , t n, |
комплексные |
числа z,t г2, . •.. , г п и |
|||||
целое число п |
|
п |
|
|
_ |
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
||
Е |
Е |
/ |
- |
'*) |
2* |
> |
0 . |
|
|
А= 1 ш = 1
89
Аналогично преобразуем представление (7) процесса |
(£) |
|||||
?г ( 0 = |
|
cos |
1 + |
sin со* |
-~т— |
|
или,обозначая |
|
|
|
|
|
|
a k Т |
-г , ~\ bk T |
= |
. |
ir |
, |
|
—s— = |
Zt (ш*), |
Z, (со*) , |
—— = |
|
||
получаем
t,r (t) = /«;.+ V, {Z| (шА) cos со* t + Z2 (со*) sin со* /} Дш* . (10)
Правая часть равенства |
(9) |
напоминает интегральную сум |
|||||
му функции s у. (со) |
cos сот |
для |
со>0. |
|
Предполагая, |
что пре |
|
дел этой суммы существует при Т |
°о (Дш* -*-0), |
получаем |
|||||
Ига |
(т) |
= |
f |
(со) cos |
сот с/со . |
|
|
т~у’° |
|
|
о |
|
|
|
|
Но |
Нш K \ b ) = K i{ г) , |
|
|
||||
|
|
|
|||||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
Kk (*) = |
f |
|
(ш) cos сот d<o |
|
|||
l.i.m. £г (£) =• /гае ■+- l.i.m. YfZAto*) cos co*/+Z,(w*) sin со*£}Дсо*.
|
|
|
T—> |
|
|
t . e. |
|
|
|
|
|
5 (t) |
= |
+ J |
{Zj (со} cos co^ -j- Z 2 (со) sin cot) dcо . |
||
|
|
о |
|
|
|
Итак, |
если корреляционная функция Kt (т) |
стационарно |
|||
го в широком смысле случайного процесса § (t) |
абсолютно |
||||
интегрируема на всей оси От, то процесс £ (?) |
имеет непре |
||||
рывный спектр, т. е. спектральная плотность |
(со) |
будет не |
|||
прерывной функцией на полуоси [О, оо], причем |
|
|
|||
|
|
s, (») |
К £ (т) cos сот dx |
|
(4) |
90
h сам процесс 5 (t) представим в виде спектрального разло жения (5).
Спектральная плотность (со) > 0 при всех со, так как она является пределом отношения двух неотрицательных ве
личин Dk и Дсо*. Полагая в формуле (4) т = |
0, получаем |
|
. |
м |
|
f o ( 0 ) = A = |
j s6(«)do), |
(11) |
|
о |
|
т. е. средняя мощность флуктуационной части стационарного случайного процесса (которая, как выше было сказано, равна
дисперсии этого |
процесса) |
равна |
интегралу |
от спектральной |
плотности St (ш) |
по полуоси |
со > |
0. Всегда |
будем предпо |
лагать, что рассматриваемые случайные процессы имеют огра ниченные дисперсии, в противном случае их флуктуационные части обладали бы неограниченной энергией. Поэтому инте грал в правой части равенства (11) всегда будет сходящимся. Из сходимости такого интеграла вытекает интегрируемость спектральной плотности (<о) в любом конечном промежутке
[0, со].
Следовательно, для спектральной плотности существует не прерывная первообразная 5$ (<»), которую мы назвали спек тральной функцией (функцией спектрального распределения энергии), т. е.
Si (со) = j |
(и) d u . |
(12) |
о |
|
|
Для со < 0 следует положить Si (со) = 0. Спектральная функция St (со) численно равна средней мощности флуктуа ционной части процесса в полосе частот [0, со]. На ее свойствах мы останавливались в предыдущем параграфе. Напомним только, что (со) неотрицательная, неубывающая функция и Si (со) = Di. Если известна корреляционная функция ста ционарного случайного процесса с непрерывным спектром, то спектральную функцию можно получить из следующих соотно шений:
(<■>) |
(и) du — |
Ki (т) cos их dx \ du = |
]
2
dx \ Ki {х) cos их du —
TZ
о
и
Действительная спектральная плотность |
(со) является |
косинус-преобразованием Фурье корреляционной функции. Ча ще бывает удобнее пользоваться комплексной формой преоб разований Фурье. В этом случае энергия условно перерас пределяется и на отрицательные частоты со < 0. Вместо дей ствительной спектральной плотности вводится понятие ком
плексной спектральной плотности s; (со), связанной с дей ствительной соотношением
I ss И I = -J- % (») 1
Покажем, как перейти от действительной к комплексной спектральной плотности:
4 “ ( ш) = |
4 " Ке ( * ) c o s coxcfx » |
j Ki (х) cos сох dx |
|
О |
|
(функция |
Ki (х) cos сот — четная по х, |
поэтому интеграл по |
промежутку [0, а] равен половине интеграла по промежутку
[—а а]).
Интеграл |
па |
|
|
|
1 |
|
|
||
J |
K i (х) sin сох d-z = |
О |
||
2тс |
||||
—оо |
|
|
||
|
|
|
||
как интеграл от нечетной |
функции Ki (х) sin сох по проме |
|||
жутку, симметричному относительно нуля. |
Умножая его на |
|||
i = Y —1 и вычитая из предыдущего равенства, получаем:
- i |
- (со) = |
Ki j*(х) cos coxrfx- - - - - - -j* |
Ki (x) sin coxc/x = |
|
|
— —• |
oo |
|
оe |
|
e> |
= |
■1 — j |
K i{t)(cos cox—i sin wx)rfx= ■ |
j Ki (x) e~h,~rfx . |
Так как корреляционная функция /Се (х) четная, то ее комплексное преобразование Фурье будет вещественной и чет ной функцией аргумента со и, следовательно, комплексная
спектральная плотность (со) всегда вещественная и четная функция, определяемая равенством
92.
