Файл: Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.07.2024
Просмотров: 104
Скачиваний: 0
.SE (со) = |
1 |
Ki |
(т) e~lm~- dz . |
(13) |
|
2* |
|||||
|
|
|
|
||
Корреляционная функция |
K i(z) |
выражается через |
ком |
||
плексную спектральную плотность ss (со) обратным преобра зованием Фурье:
К i (т) |
= |
j |
st (ы) е 1ш~rfu) . |
(14) |
Полагая в формуле (14) |
т=0, находим |
|
||
А |
= |
£ |
se (<о) d a . |
(15) |
Спектральная функция S i (ш) с помощью комплексной спектральной плотности определяется равенством
ш |
(16) |
Si (ш) = £ s- (и) da . |
Очевидно, что Si (со) неотрицательная, 'неубывающая и непрерывная функция на всей оси ш, причем
Si (со) ~ Di и Si ( — оо) = 0 ..
Иногда вместо спектральной плотности пользуются норми рованной спектральной плотностью
(со) =
Di
или
где Di — дисперсия случайного процесса. ■ 1 • • Нормированная спектральная плотность и нормированная корреляционная функция связаны теми же преобразованиями
Фурье |
’ |
|
ае (ш ) |
ге (т) cos сот dz , |
т |
|
и |
|
93
rs (z) |
= |
j |
o$ (to) cos tox C?0) |
(18) |
|||
в действительной форме и |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
со |
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
||
°Е (ш) = |
‘ |
- |
| |
Г( (т) е~ы' dz , |
(19) |
||
2тг |
|||||||
|
|
ОС |
—N |
|
|
||
|
|
|
(ш) |
dco |
(20) |
||
^ (х) = |
|
I |
|
||||
в комплексной форме. |
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что |
|
|
|
|
|
|
|
се |
|
|
ее |
|
|
||
в£ (ш) day = |
f |
(to) di0 = 1 , |
|
||||
оо
анормированная функция спектрального распределения энер гии
5 { (ш ) = j |
(ы ) du |
_ее |
|
обладает всеми свойствами функции распределения вероятнос
тей непрерывной случайной величины. |
стационарного слу |
||
Графическим изображением |
спектра |
||
чайного процесса будет кривая |
(со) |
(или |
(со)) (рис. 9). |
Вследствие того, что спектральная плотность |
(ш) описы |
||
вает плотность распределения энергии по частотам флуктуа-
О
ционной части £ (£) процесса ? ( t), ее называют энергетиче ским спектром случайного процесса.
Мы ограничились рассмотрением стационарных случайных процессов с дискретным и непрерывным спектрами. Все мно гообразие стационарных случайных процессов не исчерпывает ся этими двумя классами. Существуют «смешанные» стацио нарные процессы, имеющие характерные черты как процессов с дискретным спектром, так и процессов с непрерывным спект ром. Их можно представить в виде суммы двух процессов
5 (0 = (0 + S. (*)
и рассмотреть в отдельности каждое слагаемое. Рассмотрим простейшие примеры.
Пример 1. Корреляционная функция стационарного случай ного процесса задана выражением
(т) = D e-‘M (D > 0, а > 0) .
94
Найти комплексную спектральную плотность ^(ш) и спек тральную функцию (ш).
Решение. Корреляционная функция Кь (т) непрерывна при всех х, абсолютно интегрируема на всей оси
(х) |dx = 2D |
e~az dx = |
2D |
|
а |
|||
|
|
имеет только один максимум в точке х=0, и, следовательно, разложима в ряд Фурье в любом конечном промежутке. По этому процесс £ (О СК непрерывен и имеет непрерывную
спектральную плотность s5(w), которую найдем по форму
ле (13): |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
D |
|
g-a|z| е -Ых |
D_ |
|
|||
«е (со) = |
|
|* е(а~'ш)г dx -{- |
||||||
|
|
2 |
тс |
|||||
|
|
|
оо |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g—(a+№h fa |
D |
g{a |
|
|
g-(a+im)T |
|
||
2к |
a — ш |
|
|
10) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
D |
|
|
1 |
_ 1_ |
|
|
D a |
f |
2k |
|
a — ш + |
a -)- iw |
|
|
ic (a2 -f- ша) |
|
|
95
Определяем спектральную функцию по формуле (16):
ш
Da |
d u |
D |
, |
и |
Si (to) = |
- r ~.— , = |
— |
arctg — |
|
|
a- И- |
•к |
° |
a |
|
(0 |
|
|
|
arctg |
a |
|
Графики корреляционной функции, спектральной плотнос ти и спектральной функции изображены на рис. 10, 11 и 12 со
ответственно. Из графика спектральной плотности S- (ш)
видно, что наиболее существенный вклад в образование слу чайного процесса £(г) вносят случайные гармонические ко
лебания низких частот. Две третьих энергии флуктуационной
У Т
части процесса £ (£) распределено в полосе частот 0, а —
(с учетом того обстоятельства, что на отрицательные частоты энергия распределяется чисто условно).
Интересно проследить, как влияет изменение параметра a на перераспределение энергии флуктуационной части процес
са. Читателю рекомендуется |
проделать |
это самостоятельно. |
|
Пример 2. Действительная спектральная плотность |
(to) |
||
стационарного случайного процесса £ (() |
постоянна в полосе |
||
частот © ,• < « '< <»2 и равна нулю вне этой полосы. |
Найти |
||
корреляционную функцию |
(т) этого процесса. |
|
|
96
Решение. Читателя не должно смущать то обстоятельство, что функция sf (ш) разрывна в точках со, и о>2. Постоянство
спектральной плотности в некотором интервале частот озна-
Рис. 11
чает, что вся энергия флуктуации этого процесса равномерно распределена в этом интервале. Если же в некотором интерва
ле частот спектральная плотность равна нулю, то это означает, что гармонические колебания этих частот не вносят никакого вклада в флуктуационную часть процесса, попросту они явля-
7. Зак. 525, |
97 |
ются неслучайной составляющей процесса ? (£), и его можно представить в виде
$ (t) - с, (0 + ® (0 .
где tp (/) — неслучайная функция. Итак,
( |
при СО, < СО< СО, , |
'со, —
I |
о, |
СО< СО, при со > со3 , |
что можно получить из следующих соображений:
Dt — j |
(со) d a = j c d a = с (co3 — со,) , |
откуда
с =
Di
(О, — (О,
По формуле (3) определяем корреляционную функцию:
А^(т)= ^ |
(ш) cos сот d a = |
А |
Л cos сот d a |
А |
X |
|
со2—со, |
||||
о |
|
|
|
|
|
sin сот |
2 Di |
|
со, 4- со. . |
со.. — со, |
|
X |
7------------- Ч - COS |
2- Т _ . . 1 т s in _ |
4 _ ----- !— т . |
|
|
|
(со3 — со,)т |
|
1 |
2 |
|
Заметим, что корреляционная функция имеет устранимый разрыв в точке т = 0. Чтобы она стала непрерывной, доопре делим ее в нуле предельным значением
Кг (0) = Нш Кг (т) — Iim — |
— cos |
^ х х |
|
X - J-0 |
"->-0 ш2 |
® 1 |
^ |
СО, — СО,
|
S in ----- — |
— |
т |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
= А . |
|
Таким образом, |
|
СО, + (О, |
. (О, — со, |
|
|||
|
2 Di |
|
|
||||
Кг Ы == | |
(со2 — со,) т |
COS |
|
2 |
---- |
Т Sin ■ - |
при т^О, |
| |
Di при |
т = |
0 , |
|
|
|
|
что согласуется с общей теорией.