Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.07.2024

Просмотров: 166

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

с

 

 

 

 

 

 

 

где

(Х(т)— (/у: i^!)

— >

£ ** &

 

> т - е -

условия

л е м ­

мы 1 . 2 выполнены,. Поэтому

существует

и единственно

огра ­

ниченное

решение

уравнения

( 1 . 1 2 )

при лобом

k , т . е . о д ­

нозначно

разрешима

система

( 1 , 1 0 ) ,

а

поэтому

однозначно

разрешима задача

( 1 . 1 ) - ( 1 . 2 ) - ( 1 . 3 ) .

 

 

 

4 . Задача рассеяния

Рассмотрим гиперболическую систему

d t

д

Х

 

( 1 . 1 6 )

ди.лсс,ІЇ

C/UyCxJ)

UAJCJ)

 

_ _ Ё

= - — £

+ c.(x,t)

.

Невозмущенная система допускает обшее решение вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1 . 1 7 )

Если

х-* + оа

и

аг =

О

,

то ( 1 . 1 7 )

представляет па ­

дающую справа

волну«если

же

Д Г - > - 0

0

и

О. =

О

, то

( 1 . 1 7 )

— падающая

слева

волна.

 

 

 

 

 

Нестационарная задача

рассеяния

 

для системы

( 1 . 1 6 )

может

быть сформулирована

следующим

образом.

Требуется

найти ограниченное

решение

системы

уравнений

( 1 . 1 6 ) , и м е ­

ющее вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LLCX,t)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ai

(x

+

t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где ug(tx,t)—

\

 

, ,

 

_

j

 

 

- заданная

падающая волна,

 

 

 

аг(і-Х)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

рассеяная

волна

u(x.,t)

 

удовлетворяет

условиям

излучения

/

д

д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Л

—\гг.(х,і)-^0

 

 

 

 

 

при а : - > - « ,

( 1 . 1 9 )

\дя

d t l k

 

 

 

при

 

/ х / - » = ~

,

 

 

 

 

 

 

vk(x,t)-+0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя

( 1 . 1 8 )

в

уравнение

( 1 . 1 6 ) ,

для

v (ж,

і ) ,

 

г^-^(сс^і)

получаем

систему

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с,-г?

-

c ( x , t ) a s ( t - x ) ,

 

 

 

 

dt

dec

 

1

г

 

*

 

 

 

 

 

( 1 2

0 )

 

 

дії*

dvP

-

c9-v

=

с (x,t)af(jc+t)

 

 

.

 

 

 

 

—

+

—-

 

 

 

 

 

 

ді

 

<?x

 

 

 

1

г

 

 

 

 

 

 

 

 

Применяя

к

( 1 . 2 0 )

 

лемму 1 . 2 ,

получаем однозначную

разрешимость нестационарной

задачи

( 1 . 1 5 ) - (

1 . 1 8 ) - ( 1 . 1 9 ) .

 

Т е о р е м а

П . 1 .

Пусть

\С. (х,і)\<

 

 

С

 

 

 

Ц+\*.\)1+ЬШ\Ь\)<+*

'

£ > О

; (к

— -(,2.)

 

 

.

 

1

'

>Х

 

 

Тогда

для

любых

непрерьпзных,

 

равномерно

ограниченных

функций

a^(s)

,(А

= /,£)

с у щ е с т ­

вует и единственно решение нестационарной

задачи

рассеяния

( 1 . 1 6 ) - ( 1 . 1 8 ) - ( 1 . 1 9 ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приведем интегральное уравнение, которому удовлетворя ­

ет

решение

Lt(x,i)

 

 

. Согласно

( 1 . 1 0 )

решение

системы

( 1 . 2 0 )

удовлетворяет

интегральным

уравнениям

 

 

 

 

,00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если в ( 1 . 2 1 )

в м е с т о V^(x,f)

подставить

u.k(x,t)соглас­

но ( 1 . 1 8 ) , то

получим

 

 

 

c^y^x+t-y)

 

ue(y,x

+

t--y)dy,

 

 

 

 

 

 

 

( 1 . 2 2 )

 

,x

 

 

 

 

 

 

c£ {if, t-Jc+y)u,(y,

 

 

t-x+y)dy.

Система интегральных

уравнений

( 1 . 2 2 )

эквивалентна задаче

нестационарного рассеяния ( 1 . 1 6 ) ~ ( 1 . 1 8 ) — ( . 1 . 1 9 ) .

 

5 .

Оператор

рассеяния

 

 

Непосредственно

из ( 1 . 2 2 )

получаем,

что при сс-*г + оо

 

u 4 ( x j ) = af(dr

+ t)+

0 ( 0

,

( 1 . 2 3 )

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1 . 2 4 )

При х — * • -

с-=

 

 

 

 

 

 

 

u.1lcc,t)=61(x

+ t)+

0(1)

,

( 1 . 2 5 )

 

 

 

 

 

 

 

где

too

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1 . 2 6 )

Рассмотрим

вектор-функцию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1 . 2 7 )

a(s)-

и аналогично

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и Л 8 )

где

§ i

и

^

определены

равенствами

( 1 . 2 4 ) ,

( 1 . 2 6 ) .

 

 

 

Первая компонента a,f(s)

вектор-функции

О-(з)

опреде ­

ляет падагошуга справа волну и^0(х,£)

= £1^(я:Л)г

UM(st,t)=0.

Вторая компонента ag(s)

вектор-функции

а(з)

определяет

 

падающую

слева

волну

u i 0 (ж,

t)

= О, и.гп(я,£)

= а.

 

 

Т а ­

ким образом, вектор-функция

 

сг.(3)

определяет падаюшую

вол—

ну. Совершенно

аналогично

6i

(s)

определяет рассеянную В Л Є Б О

волну

Bi(vc+t')

 

,

а

(з)

-

рассеянную вправо волну 8^ (if-Jr)

 

О п р е д е л е н tie

. Оператор

S

, переводящий

вектор -

 

функцию

а

(6)

 

, которая определяет

падающую волну,

в в е к ­

тор-функцию

 

,

которая

определяет

рассеянную

волну,

б у ­

дем

называть

оператором рассеяния

для

системы уравнений

( 1 - 1 6 > -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Согласно

этому

определению

о (3J — о а. Сз)

( т

е_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctt(s)

 

 

 

 

( 1 . 2 9 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a£(s)

 

 

 

 

 

 

 

Таким

образом,

оператор

рассеяния

і!з

является

м а т ­

ричным

оператором;

Операторы

S^g

(к,

f=/,2)

 

 

играют

роль

операторных коэффициентов

прохождения

и отражения:

 

6ff

— коэффициент

прохождения

справа,

 

 

 

 

 

^SZ "

. к о э

Ф Ф и ц и е н т

прохождения

слева,

 

 

 

 

 

$gf — коэффициент отражения справа,

&— коэффициент отражения слева .

Отметим, что при r ^ s

C g s О , 8(3)

= a (S) , а оператор

р а с ­

сеяния равен единичному оператору. Оператор рассеяния

$

будем

рассматривать в

пространстве

Z/g суммируемых с

к в а д ­

ратом

вектор-функций.

 

 

 

Смотрите также файлы