Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf

Положим

(4 . 31 . )

Тогца

,

у 2

удовлетворяют

системе

( 4 . 1 ) .

Таким

образом,

из

существования

следует

разре ­

шимость системы ( 4 . 1 ) , т . е . из

3 )

следует

1 ) .

Т е м

самым

доказательство

теоремы

заканчивается.

Замечание к теорем^ 1 . 5 .

В

условиях

2 ) - 3 ) - 4 )

фигу­

рируют

лишь выражения

P^FQ^

и

Q^ifPj

.

Из

свойств

( 1 . 1 3 )

делаем

вывод,

что

Р^FQ-^

— Р-^F+

Qj^

и Ях^^

~Qx^-Pl'

Таким

образом,

условия

2 ) , - 3 ) ,

4)

содержат

лишь F+

и

іґ_

Учитьтая

симметрию

условий

в

теореме,

можно

в

2 ) ,

3 ) , 4 ) поменять местами

F

и if

. Тогда

эти

условия

бу ­

дут

содержать

лишь

F_

и

& +

. Таким

образом,

теорема

дает условия двусторонней факторизации 'оператороз в

терми ­

нах

вольтерровских

срезок

F+

,

ff_

или

F_

,

А~/=1+У,

Пусть оператор A-I+F

имеет

обратный

где

F

и

ff

— операторы

Г.-Ш.

Рассмотрим

разложение

операторов

F

и У

на

сумму

вольтерровских

операторов

ми: F' — Ff

+ Е ,

У =

У+ + У-

. Поставим

следующую

з а д а ­

чу: будет

ли пара

операторов F+

и {/_

-

или р_

и

if^

однозначно

определять

исходный

оператор

А , и как

его

му случаю, дает

следующая

Т е о р е м а

1 . 6 . Пусть

оператор А-1+

F

допускает

двустороннюю

фактрризацгао. Тогда существует

А~'= 1+ і/

,и

оператор

А

однозначноопределяется по двум

вольтерров—

ским операторам

F+

и У_ .

При этом, для

любого <2.

суще ­

ствуют

операторы

Г.—Ш.

'-Ф+Pz

#РЛҐ(Ґ+РЛЕРЛГ(І+П-Ї]РЛ

.-

-рл1и-рхряхурлґрул

=

=-РЛ(Г+¥РХҐЇРЛ-Р^Г-Р^/УРЛ)-ГГРЛ

.

( 4 . 3 6 )

Если обозначить через

оператор

-(4+ ffP^)'1

і/

то согласно

теореме

1 . 3 , оператор

/*- 3^= (Г+К

)(І+К+)~*

где К+(і,а)=*Ґл

(t,j)

Flo

из

( 4 . 3 6 )

получаем, что при

^ьз^Л

f1(t,7l)F_(7Z,s)d4

,

( 4 . 3 7 )

1

,

где ^

(t,s)

— ядро

оператора fj

= (I~ P^PQi^Pj)'

~1 •

Полагая

в ( 4 . 3 7 ) Л~£з

, получаем

первую

формулу

( 4 . 3 4 ) .

Аналогично

получаем

Если обозначить

через

, то

согласно

теореме 1 . 2 _ оператор

1+

(TtM^)~f(I+ М_)

, гд е

M+fJ,S)=

Ft (t,s)

.

Из ( 4 . 3 8 )

при

г?^о> полу­

чаем

х

ГЄ,Л(І,В)~

Ъи>*>~\

F-(i>V)fl<4''s)ctj?

*

( 4 . 3 9 )

где

Г л

~ ( Г - 0 х # Р л

^ 2 Г ' - Г

Полагая

в

( 4 . 3 9 )

d = t

,

имеем

вторую

формулу

( 4 . 3 4 ) .

Поступая

также с

Л

и Г

л

,

получаем

( 4 . 4 0 )

Из

этих

равенств,

на

основании

теоремы

1.2

и

1 . 3

потуча-

ем

остальные

два

равенства

из

( 4 . 3 4 ) .

Замечание к

теореме 1 . 6 .

В

теореме дается

метод,как

двустороннефакторчзуемый оператор

А

восстанавливать

по

Ff.

и

v" _

. Е. силу

симметрии

условие

относительно А

и А'

легко

сформулировать

правило

восстановления

А

по F_

и

.

Для

этого

достаточно

А

п

A~f

,

F

u

if

поменять

ролями.

В теореме 1,6 восстановление оператора

А

по

u f/_

основывается

на операторах,

фигурирующих в условии 2 )

т е о ­

ремы 1 . 5 . Однако

это восстановление можно связать и с опе ­

раторами из условий 3 )

и 4 ) той же теоремы. Приведем

с о о т -

ьетствуюшна результаты.

Т е о р е м а

1 . 7

.

Пусть

оператор А -Ґ+

F

допускает

двустороннюю

факторизацию. Тогда

существует А~*~ 1+ if

,

и оператор

А

однозначно

определяется

по двум

вольтерров—

с к т л опеиаторам

F+

и

if_

.

При этом, для любого

Л

суще ­

ствуют

оперчгоры

Г41І.

Г. п ,

г'= /,2,3,

У

:

'Ы

<(F> ]

-

~

Г.

з,х/

где

к

^Z~{QX-V

°

' ^-f*^2)

' а

^1 - т Р а н с п ° н « р о -

ванная

М^

операторная

матрица.

Оператор

А

представим

в

следующих видах:

A = (I+M_)~'(I+

Mf.)

( 4 . 4 2 )

t