Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.07.2024

Просмотров: 167

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

и аналогично

(6f(*>\

 

 

 

 

 

 

)=6(t)

•

 

 

 

( 2 . 2 3 )

Тогпа ( 2 . 5 )

примет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x,t)=[f+Н+(х)]

 

f^aCt)

.

 

 

 

(2.24)

Представление

( 2 , 1 1 )

решения

примет

вид

 

 

 

 

 

 

u.(x,t)=\mI+Kjx)\^.6(t).

 

 

 

 

 

( 2 . 2 5 )

Следует

отметить,

что

представления

( 2 . 5 )

или ( 2 . 2 4 )

реше ­

ния позволяет характеризовать оператор 1+ Н+ (ж)

как о п е ­

ратор,

переводящий

решение невоэмущенной

системы

и

 

(хt)~-

— i/„Cl(t)—\

 

 

I в

решение возмущенной системы

 

u(x,t)~

~\и

(х

t)j

'

К

0 Т О Р о е П Р И

t^*--^o

приближается

 

к

реше ­

нию невозмущенной системы уравнений. Аналогично представле ­

ние ( 2 . 1 1 )

или ( 2 . 2 5 )

показывает,

что оператор

1+

 

К_(х.)

переводит

решения невозмушенной

системы Ji. S(t)~

(

1

^* * ^ )

в решение

возмущенной

системы,

которое

при с - > + оо

асимп ­

тотически

приближается

к

S(t)

 

. И з вышесказанного

следует, что операторы

Н+

(х)

и

К_ (х)

играют

роль.ана-

логичную обычным операторам преобразования в стационарной

теории

рассеяния.

 

 

 

Если

учесть с в я з ь

между

рассеянной

волной и падающей,

даваемую

равенствами

( 1 . 2 4 )

, ( 1 . 2 6 ) , т о

уравнения ( 2 . 3 ) и

( 2 . 4 )

можно преобразовать к

виду

 

 

 

оО

 

 

х

со

ui (x,t)

- B1 (se + t)-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

( 2 . 2 7 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Системы уравнений

( 2 . 2 G )

и

( 2 . 2 7 )

аналогичны ( 2 . 4 ) и

 

( 2 . 3 ) с заменой переменных

х.

и ^

местами. Поэтому отно ­

сительно систем ( 2 . 2 6 )

и

( 2 . 2 7 ) можно

сформулировать

р е ­

зультаты, аналогичные леммам

2 . 1 ,

2 . 2 .

 

 

Л е м м а

2 . 3 .

Существует

и единственно равномерно

о г ­

раниченное

решение

и,

(л,

t)

,

и.г(х,{)

 

системы ( 2 . 2 6 )

при

любой правой

части

а,^)

,

3£(^)€: С(£)

. Решение с и с т е ­

мы ( 2 . 2 6 )

представимо

в

виде

 

 

 

 

t

( 2 . 2 8 )

где

при фиксированном ас по

і

и £,

функции

Ln

(3ctt£)

{.ii = i,2

суммируемы

с квадратом в области

<*

&

, a

L n 2 (х,

 

(п-

f,2)

суммируемы

с

квадратом

в области

t .

При

этом

 

 

 

 

 

 

 

 

— , (/t,m=/,2J,(2.29)

/,£

6 * .

j

 

 

,

Lgi(3i,t,i)=-£c£(sr.,t).

2 '

 

( 2 . 3 0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Существование

и единственность

решения

систомы

( 2 . 2 6 )

непосредственно

следует

из леммы

1.2

г л . 1 . Если

искать

решение

системы

( 2 . 2 6 )

в

виде

( 2 . 2 8 ) ,

то после

подстановки

( 2 . 2 8 )

в

( 2 . 2 6 )

получаем

систему

интегральных

уравнений для

/,

 

(sc,

 

 

I

t

+>\

^

/

 

*>+*

'

 

2

 

 

 

( 2 . 3 1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x-t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

S.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2 . 3 2 )

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

ввести

функции

L

(зс,

t,&>)

 

равенства!*

йп1(л,1Л)=1л1(л,Ь,%-хХ

Lnl{xttjo~Lng(x,tA+&t

 

( 2 . 3 3 )

то системы ( 2 . 3 1 ) и

( 2 . 3 2 ) примут вид

 

 

 

 

Lt1(*AS>

= J

 

 

 

Lgf

 

 

t-c/r£,)dy,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Щ+x-t

 

 

 

( 2 . 3 4 )

 

 

/

(L+x-t

£>-*+t\

 

 

 

 

 

 

-x+ t,&,)dy ,

^bt+x;

 

 

?- л

г

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2 . 3 5 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t-л.

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Системы

( 2 . 3 4 )

и ( 2 . 3 5 )

однозначно

разрешимы

в

про­

странстве равномерно

ограниченных

по я

и г " , функции,

что

следует из леммы 1 . 2

гл, 1 . Оценки

на решение,

обеспечиваю­

щие

суммируемость

с

квадратом

ї>ппг

 

и

Lп / п

по t

 

, £, ,

легко получить аналогично, как и в лемме 2 . 1 . Покажем, как

получить более

точные

оценки

( 2 . 2 0 ) .

 

 

 

 

 

 

С этой

иелыо

введем новые

неизвестные в

системе

( 2 . 3 4 ) -

( 2 . 3 5 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{

I c+x-t

£,-x

+ t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, ( 2 . 3 6 )

 

Р ,

, .

Г

 

*

(x+t-t,

X+t+ё,

 

 

Относительно

этих

неизвестных

системы

( 2 . 3 4 )

и ( 2 . 3 5 )

при­

мут

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7)

 

 

 

Г *

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с2(У'

У ~ х * i } S" Ц' У " л

* *> Ь ) dy ,

 

 

Смотрите также файлы