Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf

( 4 . 4 8 )

где /^ и

/_j

- определены в теореме 1 .

8 ,

а

^

( * " = £ 2 Д £ )

в теореме

1 . 7 .

Тогда из ( 4 . 4 8 ) и ( 4 . 4 3 )

получаем

( 4 . 4 7 ) .

г. Л Л В Л

I I

Под обратной задачей

рассеяния

понимают задачу в о с ­

становления потенциала по

известным

данным

рассеяния. В

решении обратной задачи важную роль

играют,

так

н а з ы в а е ­

мые, операторы преобразования. В настоящей

главе

с т р о я т ­

ся аналоги операторов преобразования

для нестационарной

dt

дзс

C1(jC,t)U},U,t)=pi(X,t)

,

Ц д )

duz(.x,t)

due(x,t)

Сг (х,

і)и<

(x,t)

= р

(x,t),

dt

дх

-

? v

' '

*

^ '

при -

оо < ас < + <*»

•

Будем

искать ограниченные

решения

системы

( 1 . 1 ) ,

к о т о ­

рые при

фиксированном

і

и Jar|->-oo

стремятся

к нулю

и к ( х ,

i)-^0,

(А=/,2)

при

\х\-*-~°

( 1 . 2 )

и равномерно по te

+

удовлетворяют условиям

излучения

—

+

Г Г ) и к ( х

, * ^ 0 ,

\

*

\

*

=

/,2 .

( 1 . 3 )

д \х.\

di

J

Условия

излучения

( 1 . 2 )

можно

переписать

в виде

д

д

0

д\

при

л ; - * - »

( 1 , 4 )

\и^(х.^)-^>

О ,

При определенных условиях убывания на бесконечности,

наложенных

на функции

,

Сг

и

ff,

рг

, в этом пара­

графе

будет

показано, что

существует

и

единственно

решение

задачи ( 1 . 1 ) —

( 1 . 2 ) — ( 1 . 3 ) . В - пачале рассмотрим невозмущон—

ную систему

(

1 . 1 ) ,

в которой

= с^, н

#

2 . Задача для невоэмушенной

системы

Будем

искать

ограниченные

решения

системы

dt

дх

Г *

удовлетворяющие

условиям

( 1 . 2 ) — ( 1 . 4 ) .

Л е м м а 1

. 1 . Пусть

\РКМ)\

6

С—

— •

£>0;

А =

. ( 1 . 6 )

(Ulcc\)"*(U\t\)U£

Тогда

существует и

единственно

решение

задачи

( 1 . 5 ) — ( 1 . 2 ) -

( 1 . 4 ) .

Это

решение

представимо

в

виде

ї

( 1 . 7 )

Д о к а з а т е л ь с т в о

. Очень

легко

проверить, что ( 1 . 7 )

дает

решение задачи

( 1 . 5 ) — ( 1 . 2 ) - ( 1 . 4 ) .

Единственность

р е - ,

шения следует из того, что однородные

(рі=.рг=.0)

у р а в ­

нения

( 1 . 5 )

имеют обшее

решение вида

u.^x,t)-Hx*t),

( 1 . 8 ) •

ug(x,t)=

g(x-t)

,

Однако

из условий

излучения

получаем, что' f'= О

и

д'-О

t

т . е . что

f=COnst

и

д —const

. Но

тогда из ( 1 . 2 )

п о ­

лучаем,

что

эти cons

t

е с т ь нули. Таким

образом,

решение

однородной задачи

и^= О

и

ug=

О

. Это

дает единствен­

ность

решения.

3 . Задача для возмущенной

системы

Л е м м а

1 . 2 .

Пусть Pk(x,t)

удовлетворяют

услови ­

ям ( 1 ; б ) и

\ck(x,t)\^~

С

—

£ Х ? ;

( 1 < 9 )

Тогда

существует

и единственно

решение

задачи

( 1 . 1 ) - ( 1 . 2 ) ~

( 1 . 3 ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о

. Перенося члены

с

потенциалами

Ck(x,t)

в правую

часть уравнения ( 1 . 1 )

и применяя

л е м ­

му 1 . 1 ,

получим,

что

задача

( 1 . 1 ) - ( 1 . 2 ) — ( 1 . 3 )

эквивалент­

где

(*,*)

=

fifty,x

+

t-y)dy,

( l . i i )

Систему

( 1 . 1 0 ) запишем

в операторном виде

a - k + A u ,

( 1 . 1 2 )

где

u--

h =

(

hf(*,i)

I

X

( 1 . 1 3 )

X

\

К уравнению ( 1 . 1 2 )

применим

лемму 1 . 2

г л . 1 . Для

э т о г о

проверим выполнимость условия

леммы . В

нашем случае ||^||у,

для а =

( ^ ' )

имеет

вид

М 1 г =

* и р

K ^ . o i .

( 1 . 1 4 )

к={,2

Используя

это определение

нормы ? из

выражения

( 1 . 1 3 )

получим

Т

( 1 . 1 5 )