Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf

( 2 . 3 8 )

где

его

Оценим вначале свободные члены

h f

, tig

учитывая, что

. ^ л : , ^ | 4 с С / + | л | Г " * - ( / + | * | >

Из

( 2 . 3 9 )

и ( 2 . 4 0 )

получаем

too

/

|

Г Г

b-x-t

у-

( 2 . 4 1 )

•і-і

( V

.(,2.42)

of,

1ы

У-

Учитывая,

что (/+1у\)п

+

из

( 2 . 4 1 )

получаем

d 4

С другой

стороны,

(1+

поэтому

из

( 2 . 4 3 )

получаем

1+ Ї + І + Х

U Є

г \>

2

( 2 . 4 4 )

Сопоставляя

( 2 . 4 3 )

и ( 2 . 4 4 ) ,

имеем

С

( 2 . 4 5 )

HAW

( 2 . 4 6 )

где

с

не зависит от

се

,

і

и

4 .

Исходя

из ( 2 . 4 2 ) ,

оценки

( 2 . 4 3 ) , ( 2 . 4 4 )

и ( 2 . 4 6 )

м о ­

жно

получить и для

/z С-г, г?, 4.).

1

g

Рассмотрим

теперь

уравнения ( 2 . 3 7 )

в

пространстве

р а в ­

номерно

ограниченных по л;

и t

функций.

Переменная

играет

роль параметра. Согласно лемме

1 . 2

г л . 1

существует

ограни­

ченное

решение системы

( 2 . 3 7 ) .

Учитывая,

что свободный

член

имеет

по £

оценку

( 2 . 4 5 ) ,

делаем вывод,

что

равномерно

пол*

и t

Подставляя

оценку

( 2 . 4 7 )

для

в

правую

часть второго

уравнения ( 2 . 3 7 )

и производя

оценки,

получаем

\Є (jc,t,£,)\4:

( 2 . 4 8 )

Подставляя

( 2 . 4 8 )

в правую часть первого уравнения ( 2 . 3 7 )

и производя

оценки,

получаем

j

\(<tly()(/+ly-x-*\)(f+\2y-x-t\)]

-оо

[ 2 . 4 9 )

Подставляя

оценку

( 2 . 4 9 )

во

второе

уравнение системы

2 . 3 7 ) , получаем

( 2 . 5 0 )

d 4

Используя

оценку

( 2 . 4 6 ) ,

из

( 2 . 5 0 )

получаем

f с

-

а

<

с

г.

( 2 . 5 1 )

Полагая <х = 0

в ( 2 . 4 9 )

и ( 2 . 5 1 )

и учитывая ( 2 . 4 6 ) , а

также, что

/

t_

\L (°-1< *•)\ *

—

:

, Y (om\±

T~ •

Аналогично

получаются оценки для

<f

f

£

из системы

( 2 . 3 8 ) .

Получеьные

оценки

( 2 . 5 2 )

с

учетом

( 2 . 3 6 )

и ( 2

. 3 3 )

приводят

к

( 2 . 2

9 ) .

Л е м м а

2

. 4 .

Существует

и единственно

равномерно

о г ­

раниченное

решение

U._l(.x,i),

иг(я:,і)

системы

( 2 . 2 7 ) при

любой правой

части

^(5),

^(J)

е C(F)

.

Решение

системы

( 2 . 2 7 )

представимо

в виде

0.

u

g

=

аг (t-x) + J MSj(л, t,$) gf(*+ k)<tb +

oo

+

где

при фиксированном ее

по переменным і

и £,

функции

МП1 (•X,t,e>)

(,n=~f,2)

суммируемы

с

квадратом в о б ­

ласти

i

a Функции

Мnt(ccft,£,)

(п=*,2)

суммиру­

емы

с

квадратом

в области

. При этом

С

Кт<0'*М£

7П

Т

•

Г

* ,

2 . 5 4 )

Mfe(*,t,t)

= -£c,(a:,0,

Mgf(x,e,t)=:±cg(cc,t,0.

( 2 . 5 5 )