Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.07.2024

Просмотров: 169

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

Существование

и единственность

равномерно

 

ограничен­

ного

решения

 

системы

( 2 . 5 9 )

и ( 2 . 6 0 )

следует

из

леммы

1 . 2

г л . 1 . Оценки по t

и £,

для решения,

обеспечивающие

его

суммируемость с квадратом, получаем аналогично,

как и в

лемме

2 . 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оценки

( 2 . 5 4 )

получаем

аналогично

 

оценкам

( 2 . 2 9 )

леммы

2 . 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 .

С в я з ь

опэраторов

преобразования

с

оператором

 

 

 

рассеяния

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оператор

рассеяния

S

нестационарной

задачи

 

рассеяния

определен

в

§

1 посредством

равенства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a,(s)

 

 

 

 

 

 

 

S(s)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2 . 6 1 )

Приравнивая

правые

части

равенства

( 2 . 2 4 )

и ( 2 . 2 5 ) ,

полу­

чаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2 . 6 2 )

Учитывая,

что

согласно

 

лемме

1 . 1

*~л.1 существует

[І+/\_ Cxi] '

a <^c'i

—

у

из равенства

( 2 . 6 2 )

и определения

 

оператора

рассеяния

получаем

очень

важное

представление

для

операто­

ра рассеяния

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S = - Г

 

 

 

~ ' [ / f / / + f « j ] . £ .

 

 

 

 

 

 

( 2 . 6 3 )

 

Иное

представление

получим

используя

леммы

2 . 3 ,

2 . 4 .

Действительно,

приравнивая

правые

части

 

равенств

( 2 . 2 8 ) и

( 2 . 5 3 ) , получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

t

1 t

2

( 2 . 6 4 )

- oO

o O

= S0(t-x)+

Ls/(x,t,£)at(x+£,)d£,+

L„lx,t,&,)6j.b,-x)dK

.

 

 

 

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2 . 0 5 )

Перенеся в с е

члены с

<2, и ct-s в

 

левую

часть, а члены с Sf

и 6„ в правую часть

равенств

( 2 . 6 4 )

и ( 2 . 6 5 ) ,

получаем

о О

 

 

 

СО

 

 

a/x+ti+JLH(x,t,£,)af(x+tyd£,-

( 2 . 6 6 )

Ь,(х,£,ё,)а.^х+КМ£, + a(t-x,) + Mgi(x,t,^)as(^x)d£,=

Mix,tX)

біх+ШЬ

+ e9tt-*) +

\L„(.*,t&)6-it,-*)db>.

Равенства

( 2 . 6 6 ) запишем в операторной форме. С этой

целью введем

матричные

вольтерровские

операторы

LH(x)

ft

 

 

( 2 . 6 7 )

 

 

где элементы матрицы А_ являются вольтерровскнми операто­ рами с переменным нижним пределом, а элементы матрицы А + являются вольтерровскнми операторами с переменным верхним

пределом. Ядрами операторов L

 

Мппг(ж)

 

 

(п,т=/,2)

являются функции linmiX,t,^y

,

Мпт

 

,

рассмотрен­

ные

раньше. С учетом

( 2 . 6 7 ) и ( 2 . 6 8 ) , а

также

определения

( 2 . 2 0 )

оператора сдвига равенствам

( 2 . 6 6 )

можно придать вид

 

 

 

[Г + А_(х)]Г

a. = \£+A+(a:)]jr 8.

 

 

 

( 2 . 6 9 )

Учитывая,

что

 

 

 

 

существует согласно

лемме

1 . 1

г л . 1 ,

а ^ _ / -

£ х

,

из

( 2 . 6 9 ) и

определения

( 2 . 6 1 )

опе ­

ратора

рассеяния

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 = ^[1+А^)УХ^А,(х)]

 

fx.

 

 

( 2 . 7 0 )

 

Приравнивая

представление

u1(x,t)

в леммах

2 . 4

и

2 . 1

и в леммах 2 . 2

и 2 . 3 ,

а также

ug(x,t)

'

в лемма::

2 . 1 и

2 . 3

и в леммах

2 . 2

и

2 . 4 ,

получаем

 

 

 

 

 

( 2 . 7 1 )

Из этих равенств получаем, учитывая определение ( 2 . 6 1 ) оператора рассеяния, следующие представления

( 2 . 7 2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2 . 7 3 )

 

& \ = T *

(

І + М

г 2 - ( * » Z x

 

 

 

Равенства

( 2 . 7 2 ) и

( 2 . 7 3 )

можно

сокращенно

записать

в

матричном виде

так

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1ён

О

\

 

 

 

 

 

 

.

 

.

 

 

 

1 = diag$=£3.(1+

 

diagА+

ш)

(i+ dingН+

(а))Гх,

N 0

ёы1

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2 . 7 4 )

 

 

diag(S'%fjr+dtagAAx)Tf(L+diag

 

К_(х))%..

Полагая

х. = О

в

( 2 . 7 0 ) ,

получаем

 

 

 

 

 

 

4 = (1+А/0)Г<(Г+А_(0))

 

 

•

 

( 2 . 7 5 )

Откуда

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

£~1=U+AJO))-f(I+\Ul)).

 

 

( 2 . 7 6 )

Так

как операторы

А+(0)

и

А_(0)

являются

матричными

интегральными

операторами Г.-Ш.,

 

то

 

 

 

 

 

 

6 = I + F ,

а Т ' = / + # ,

 

 

( 2 . 7 7 )

где

F и

if -

интегральные

операторы Г.-Ш.

 

 

 

 

Займемся

получением

оценок

ядер

операторов F

ц

•*/ ,

С этой целью вспомним, что

ядра

А+ (О, zf,£,)

и A_(0,t,£,)

в

силу

определения ( 2 . 6 7 ) - ( 2 . 6 8 )

и

оценок ( 2 . 2 9 ) и

( 2 . 5 4 )

Смотрите также файлы