Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.07.2024
Просмотров: 170
Скачиваний: 0
удовлетворяют оценкам
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
Из равенств |
( 2 . 7 5 ) |
и ( 2 . 7 6 ) |
и оценок ( 2 . 7 6 ) |
|
можно |
полу |
|||||
чить оценки и для |
F(t,ei) |
|
и |
. С |
этой |
|
целью |
дока |
|||
жем следующую вспомогательную лемму. |
|
|
|
|
|||||||
Л е м м а |
2 . 5 . |
Пусть |
Kf(t,e,), |
K&(t,$) |
|
, |
K(tA)~ |
||||
ядра, удовлетворяющие оценке |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
£>0. |
|
|
( 2 . 7 9 ) |
|
Тогда интегральные операторы К1 Кг |
и |
R—(.l4-K)~f-I |
|||||||||
имеют ядра, |
удовлетворяющие |
той же |
оценке ( 2 . 7 9 ) . |
|
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Действительно, |
ядро |
|
оператора |
|||||||
К,' К£ имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 8 0 ) |
Учитывая |
опенки |
( 2 . 7 9 ) , приходим х |
интегралу |
|
|
|
|||||
+•00 |
|
|
|
CLTZ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 8 1 ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
(/*\і |
+ гг\)(1 |
+ \гг + е,\)г> Ґ+\Є-£,\ |
|
|
|
,то |
||||
|
|
|
|
|
|
* 1 |
|
|
|
|
Q ( 2 . 8 2 ) |
|
|
f+г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично, |
учитывая, что ( |
|
) |
|
* |
|
/+ \i + £,| |
||||
получаем |
из |
( 2 . 8 1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(J+\t+t,\)l+t.
Перемножая оценки ( 2 . 8 2 ) и ( 2 . 8 3 ) , получаем
(ц-\і+і,\)г+г£-(п\і-е,\)'*г* '
т .е. У |
|
удовлетворяет |
оценке |
( 2 . 7 9 ) . |
Таким |
образом, |
ядро |
||||
КІ Кі |
удовлетворяет |
оценке |
( 2 . 7 9 ) . |
|
f |
|
|||||
|
Перейдем |
к оценке |
ядра |
оператора R=il+K) |
-I ) |
пред |
|||||
полагая, |
что (1+кУ |
|
существует. Ядро резольвенты |
R |
|||||||
является |
ядром |
Г.-Ш. и удовлетворяет |
уравнениям |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 8 4 ) |
|
|
Rit,e,)+^R(t,2)K<z,t,)ctz+K(t,e,)=0. |
|
||||||||
Из |
( 2 . 8 4 ) |
получаем |
|
|
; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
\R(t,7i)\*dtct4 |
|
У/г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так |
как |
в |
силу |
( 2 . 7 9 ) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
\\K(t£)\*dt $ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 8 6 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mt\) |
|
|
|
|
то |
из |
( 2 . 8 5 ) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 8 7 ) |
Учитывая |
|
( 2 . 8 6 ) - ( 2 . 8 7 ) |
,из |
( 2 . 8 4 ) |
получаем |
|
|||||
|
|
|
|
(-2.88) |
Перепишем |
( 2 . 8 4 ) в |
виде |
|
|
^ ( ^ ) ^ ( ^ ) Ч г |
а д = - | ^ ^ { % ^ + / Г ^ , « ^ ? , |
( 2 . 8 9 ) |
||
где K£(t^) |
= |
\KU,7z)Ki7i£)d4. |
|
|
Учитывая оценку |
( 2 . |
8 8 ) и ( 2 . 7 9 ) , иэ ( 2 . 8 9 ) имоем |
|
|
( 2 . 9 0 )
Перепишем второе |
уравнение ( 2 . 8 4 ) в виде |
|R (t,b, > + Кft,£,) |
- К£(t,t,) f- кз а,4 )|= |
( 2 . 9 1 )
где
X3(t£)=)Kg(t,iz)K<ii.£,)dZ.
Подставляя оценку ( 2 . 9 0 ) и ( 2 . 7 9 ) в ( 2 . 9 1 ) , имеем
4 с \i+\t\) |
](1 + \Ч\)«+\гс |
Таким |
образом, |
ядро |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RUA)+ |
|
K(t£)- |
Ke{t£) |
+ |
K}(t,£,) |
|
|
|
|
|
удовлетворяет оценке ( 2 . 7 9 ) . |
Так |
как |
К(£,£,) |
, K^(t,&,) |
и |
||||||
K3(t,£,) |
согласно |
первой |
части леммы |
также |
удовлетворяют |
||||||
оценке |
( 2 . 7 9 ) , |
то |
и R(t,E,) |
|
удовлетворяет этой |
оценке. . |
|||||
Лемма |
доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исходя из леммы 2 . 5 |
в |
силу |
оценок ( 2 . 7 8 ) |
и |
представ |
||||||
ления |
( 2 . 7 5 ) - ( 2 . 7 6 ) - ( 2 . 7 7 ) |
получаем |
оценки |
ядер |
f |
и У ; |
|||||
С |
\ |
с |
\F(f£)U |
~ |
|
( 2 |
9 |
2 |
) |
Полученные |
выше |
результаты |
по факторизации |
оператора |
р а с с е |
|||||||
яния ( 2 . 6 |
3 ) - ( 2 . 7 0 ) - ( 2 . 7 4 ) , |
а также |
оценки |
( 2 . 9 & ) |
подыто |
|||||||
жим в следующей теореме . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Т е о р е м а |
|
П . 2 . Оператор рассеяния |
£> |
нестационарной |
||||||||
задачи для гиперболической |
системы |
( 2 . 1 ) на |
всеЯ |
оси имеет |
||||||||
обратный |
iS'f |
. |
При этом |
3 |
= 1+ F r |
S'^I-t |
і/ |
, г д е |
ядра |
|||
матричных |
|
интегральных операторов |
F |
к if |
|
допускают |
оцен |
|||||
ки ( 2 . 9 2 ) . |
При любом ее |
оператор |
^;6^1Х |
|
допускает |
фак |
||||||
торизацию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 9 3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 9 4 ) |
dm$ |
|
Sf_x=17> |
diaq |
A+ |
(x)\ |
|
|
diao |
H+ (xj] |
, |
|
|
( 2 . 9 5 ) |
|||||
diag |
|
f. 6~ffx^\T+ |
|
di'ag |
А^х\'\і+ |
diaci |
(xj\ . |
|
( 2 . 9 6 ) |
|||||||||
В частности, |
(x-~0) |
|
|
|
с а м |
оператор |
|
допускает |
д в у с т о |
|||||||||
роннюю |
|
факторизацию,a |
diap£ |
|
п |
diag |
|
отличаются |
от т о ж |
|||||||||
дественного оператора на вольтерровские операторы с |
с о о т в е т |
|||||||||||||||||
ственно |
|
переменным |
|
верхним и нижним пределами. |
|
|
||||||||||||
3 . Восстановление потенциала по оператору рассеяния |
||||||||||||||||||
Учитывая, что |
оператор |
&х |
>5> Х ^ . |
допускает |
факториза |
|||||||||||||
цию ( 2 . 9 3 ) , легко |
получить |
уравнения |
для |
К_(х) |
|
и |
Н^Сх) . |
|||||||||||
Действительно, |
полагая |
&=I+F, |
|
|
|
І+<ГР-?-. |
= |
І+-Р{х-), |
||||||||||
из ^2.93)умножениеммелева на |
1 |
+ т |
ю л |
у я |
а |
е м |
; |
* |
||||||||||
К_ (х) |
+ F(x) |
+ К_ (х) |
F(x-) |
= Н4(х). |
|
|
|
|
|
( 2 . 9 7 ) |
||||||||
Перепишем |
операторное |
уравнение |
( 2 . 9 7 ) |
через |
ядра |
входящих |
||||||||||||
в него |
матричных |
интегральных |
операторов |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ос |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K-(x,££)+F(x,t£)+\K_(,x,t,v)F(.x,i2,E,)d^0, |
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 9 8 ) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x,t£n |
|
|
К_(х,ї,іУр(я,?А)*7і=Н+(х>і,е>), |
|
|
|
t-4t. |
|
|
( 2 . 9 9 ) |
||||||||
Переходя в |
( 2 . 9 3 ) |
к |
обратным |
операторам |
и |
полагая |
|
|||||||||||
-х |
Ґ+J~ |
if Т |
- |
I' + |
У'(X) |
|
|
|
|
|
, |
получаем |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
W |
(х)+ |
|
|
|
+ |
HAx)if(zc)~ |
|
К ( с с ) , |
|
|
|
( 2 . 1 0 0 ) |
||||
|
|
Т* |
|
|
|
|
|
т* |
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем |
уравнение ( 2 . 1 0 0 ) |
|
через |
ядра |
|
|
|||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
H+(*,t,q){f(x,z,£,)ct?=0, |
£,it; |
( 2 . 1 0 1 ) |
|||||
|
|
Нф(х,і,іі)іГ(х,д,Ь)сі%=К_(я,1£), |
|
£,>t, |
( 2 . 1 0 2 ) |
||||||
Из факторизации |
( 2 . 9 4 ) |
аналогично |
предыдущему получаем |
||||||||
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A+(x,WF(x,i£)+JA+(X,t,%)F(x,v£)diz=0, |
|
|
|
|
2 . 1 0 3 ) |
||||||
|
|
t |
|
-~ |
|
|
|
|
|
|
|
F(x,t£)+jA+(xJ,^)F(X^yt,)d^Ajx,t,^), |
|
|
|
|
|
( 2 . 1 0 4 ) |
|||||
|
"*> |
|
« |
|
|
|
|
|
|
|
|
А.(л,іА^^(лА%)4л.Сг,'і,^)^(л,^^0, |
|
|
|
|
|
( 2 . 1 0 5 ) |
|||||
¥(x,tA) |
+ |
lAjxX?)&te,?,Z)d z=A |
(x,t,t |
), |
|
$ 4 t . |
( 2 . 1 0 6 ) |
||||
|
|
|
1 |
+ |
|
> |
|
|
|
|
|
Из определения |
Fix,) |
и ^(JC) |
|
имеем |
|
|
|||||
|
|
/ t f + x , |
|
|
|
|
F (t+x, |
£,~x)] |
|
||
F(x,t,i>)~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 1 0 7 ) |
|
|
%f(t+x,£>+x) |
|
|
|
|
|
Уіг(і+х,Ь-х) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 1 0 8 ) |
