Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.07.2024
Просмотров: 157
Скачиваний: 0
Учитывая, |
что при фиксированных (x,t) |
r.(x,t,t.)—> |
|
о |
|
|
|||||||||||||||||
а также однозначную разрешимость уравнений |
( 2 . 4 2 ) , |
д е л а |
|||||||||||||||||||||
ем |
вывод, |
что существует |
предел, |
когда |
h |
|
О |
, |
выражения |
||||||||||||||
L |
Л |
(х, |
t,&) |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
п. |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&т |
I |
A+(*,t.Z)=-e>(*,t)\(a,t:b), |
|
|
|
|
Z*t. |
|
|
|
( 2 . 5 4 ) |
||||||||||
|
k+o |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Аналогично |
из уравнений |
( 2 . 4 3 ) |
получаем |
существова |
||||||||||||||||||
ние |
tint |
L |
A_(x,t |
,ё,) |
|
|
и |
равенство |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
h-+-o |
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
tin |
|
LЫЬS*,tA)=-C__(x,t-)Ajx,t,b\) |
|
|
|
у. |
|
h\>t. |
|
( 2 . 5 5 ) |
||||||||||||
Равенства |
( 2 . 5 4 ) |
и ( 2 . 5 5 ) |
можно |
рассматривать |
в |
силу |
|||||||||||||||||
( 2 . 5 0 ) |
как уравнения |
( 2 . 3 7 ) |
|
в обобщенном |
смысле . |
|
|
||||||||||||||||
|
3 . |
Согласованность |
ядер |
|
А -операторов |
на |
диагонале |
||||||||||||||||
|
Если |
оператор |
^=I*F |
|
допусі.ает |
правую |
факторизацию |
||||||||||||||||
^ = И~А+) |
f(I-t-A_) |
|
|
|
|
и |
|
h , |
А + |
, |
А_ |
|
— интегральные |
||||||||||
операторы с непрерывными ядрами, то существуют значения |
|||||||||||||||||||||||
ядер |
|
|
и |
А_ |
|
на диагонале и эти значения |
совпадают |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
А+Н,{) |
|
= А_и,1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 5 6 ) |
||||
|
Действительно, обозначая |
(/- А + |
|
/ / |
R+ |
|
|
|
|
||||||||||||||
получаем |
F-R+ |
+ А_ •* R |
А _ |
|
|
|
|
, Отсюда, |
в |
силу н е |
|||||||||||||
прерывности ядер делаем вывод, что R+U,t) |
|
- |
b_(t,t) |
||||||||||||||||||||
Но из |
определения |
R+ |
|
следует |
R^(t,t) |
- |
А+ |
|
(t,t) |
|
|
||||||||||||
Поэтому |
н |
А + |
(i,t)- |
А_ (t,t) |
|
|
. |
|
Если |
ядра |
рассматри |
||||||||||||
ваемых операторов не обязательно непрерывны, |
то |
в |
этом, с л у |
||||||||||||||||||||
чае о согласованности факторизационных множителей |
|
( 2 . 5 6 ) |
|||||||||||||||||||||
нельзя |
говорить, |
ибо не |
определены |
значения |
ядер |
на |
д и а г о |
||||||||||||||||
нале. |
Однако, |
если |
/*- |
|
включить |
в |
семейство |
операторов |
|||||||||||||||
^х.Т'^-х |
|
• попускаюпшх |
правую факторизацию, |
то |
почти для |
||||||||||||||||||
в с е х значений |
л |
|
можно |
говорить |
о |
некоторой |
согпасовян"**- |
||||||||||||||||
стп |
на діагонале |
фактопи.заияоннмх |
множителей |
|
|
|
|
Л е м м а |
|
2 . 3 . |
Пусть |
о п е р а т о р ^ f |
f x |
допускает |
|
||||||||
при любом х |
правую факторизацию: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
<Гг<Гл=(Г+А,(х)Г'(Г+А_(х)). |
|
|
|
( 2 . 5 7 ) |
|
|||||||||
Тогда |
ядра |
A^lx, |
t,^) |
|
и |
А_(х,t,i%) |
|
почти |
для |
в с е х |
аг,О |
|
|||
согласованы |
на |
диагонале |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
А + |
(х, |
|
|
|
|
|
t,t)-eA/xJ,t)(J=~\Ajx,{J)-6Ajx,t,t)e](2.58) |
|
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Существование для |
почти всех(х, |
t) |
|||||||||||
выражений |
( 2 . 5 8 ) |
|
доказано |
ранее (см . |
( 2 . 4 7 ) |
и |
( 2 . 4 8 ) ) . |
|
|||||||
Факторизацию |
|
( 2 . 5 7 ) |
перепишем |
в |
следующем |
виде; |
|
|
|||||||
|
|
U + Ai.(x))Se/* |
|
= (I+Aja))£t. |
|
|
|
( 2 . 5 9 ) |
|
||||||
Пусть |
aeL£ |
|
|
— произвольный |
вектор. Обозначим |
ё-та, |
|||||||||
в согласно |
( 2 . 5 9 ) |
введем |
вектор-функцию |
|
|
|
|
||||||||
|
t/(xtt)=(H-Ajx))f8U) |
|
|
= (I+Ajx))J. |
a (t) |
|
( 2 . 6 0 ) |
||||||||
Покажем, что в обобщенном смысле v(x, |
t> |
е с т ь |
реше |
||||||||||||
ние с и с т е м ы |
уравнений |
вида |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
dv |
|
|
far |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
= 5 |
|
|
C(x,t)vix,i) |
|
. |
|
( 2 . Є 1 ) |
|||||
|
|
dt |
|
|
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разностным |
аналогом |
~ |
- |
6 —^ |
|
является М. |
: |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
дх |
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
і |
vf |
(х- ktt+k)- |
t>T (x,t) |
\ |
|
|
|
|
|
|||
МнгНя,і) |
= £ |
\vs(x^A,t;h)-ig{x,oJ. |
|
|
|
( |
2 ' 6 2 |
) |
|||||||
Применяя |
М/г |
|
к |
равенству |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
V{aj) |
|
= (I |
+ Af |
(x))'f.6(t), |
|
|
|
( 2 . 6 3 ) |
||||
чоггучаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х)\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt, |
+ |
|
|
t+2k. |
|
0 |
, |
|
\eix-k,t+AA-b> |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt,, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 6 4 ) |
г д е |
LK |
определено |
равенством |
( 2 . 4 9 ) . |
|
|
|
|||||
|
Учитывая, |
что |
UmLA |
Ax.t |
Х)--Cj.x,t) |
|
A |
.(x,t |
||||
согласно |
лемме 2 . 2 |
( с м . |
2 . 5 4 ) . |
a |
|
|
|
|
||||
|
t+ihl |
0 |
|
|
h4,{x-k,t+k,b-h.)\{B |
|
|
|||||
Еіпг |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
\h |
(x*h,iih,S-h), |
|
о |
/ |
\j^-x)J |
||||
Из |
( 2 . 6 4 ) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
tin M. V(x,t)--C. |
(x,£)v(x,f.) |
. |
|
( 2 . 6 6 ) |
||||||
|
|
h-~Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Совершенно |
аналогично |
применяя |
/V?, |
к |
равенству |
||||||
|
|
|
tf(x, |
t)-(l*A_ |
(х)) |
|
а (і) |
|
|
|
( 2 . 6 7 ) |
|
н учитывая |
( 2 . 5 5 ) , |
получаем |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
fin |
М гЧх,І)~-С |
<x,t)V(x,h. |
|
|
|
( 2 . 6 8 ) |
|||
Сопоставляя |
( 2 . 0 6 ) |
и ( ? . П й ) , |
л«.цлем |
П М Р Р П , |
Ч І П почти дня |
|||||||
веет |
(x,t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C+(a:,t)VLx,t)= |
|
|
C_(x,t) v-(x,t). |
|
|
|
( 2 . 6 9 ) |
|||||||
Так как при любом фиксированном х |
можно подобрать |
&СІ) |
|||||||||||||
или eay^o-lt) |
|
|
таким |
образом, |
чтобы v-(x,t) |
был |
про |
||||||||
извольным вектором |
из |
L& |
(это |
простое |
следствие |
( 2 . 6 0 ) ) , |
|||||||||
то из |
( 2 . 6 9 ) |
делаем |
вывод |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
C+ia:,t)~C_(x,t) |
|
|
|
|
|
( 2 . 7 0 ) |
||||||
почти |
для в с е х |
(х, |
t) |
. |
Это |
и дает |
равенство |
( 2 . 5 8 ) . |
|
||||||
Замечание |
к лемме |
2 . 3 . Если выполняются |
условия |
т е о |
|||||||||||
ремы |
1 У . 2 , |
то |
потенциал |
C(oc,t) |
, |
определяемый |
равенства |
||||||||
ми |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C(x,t)= Ah+(x,t,t)-6h+(x,t,t)G\ |
|
= |
[Ajx,t,t)-6Ajx/,t)Cf\>(2.7 |
|
|
|
1) |
||||||||
имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
о |
|
|
cf(*,t)\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
( 2 . 7 2 ) |
|
и удовлетворяет |
оценкам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
\C.ix,t)\* |
|
|
|
|
|
: |
і |
А = |
. |
|
|
( 2 . 7 3 ) |
|||
* |
|
|
|
|
(/+\х\/^«.Ш)^ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Действительно, |
из |
л е м м ы 2 . 3 п о л у ч а е м |
равенства ( 2 . 7 1 ) |
. Из |
|||||||||||
( 2 . 7 1 ) следует |
указанная |
структура |
С(ж,і) |
и |
равенства |
||||||||||
c,(*,tJ |
= -£A+tg(x,i,t)=- |
|
|
|
2A^(x,t,t) |
|
; |
|
|
|
|
|
|||
cs(x,vJ=-M+gf(x,t.t)~ |
|
|
|
|
2A-.g/x,t,t). |
|
|
|
|
|
(2.74) |
v
Оценки ( 2 . 7 3 ) являются на основании ( 2 . 7 4 ) простыми следствиями оценок ( 2 . 8 ) леммы 2 . 1 .
4 . Интегральные уравнения для ядер А -операторов
Основная задача, решаемая в настоящем пункте,заклю^ чается в сведении дифференциальных уравнений для ядер А - операторов к интегральным, в точности совпадающие с ин тегральными уравнениями для ядер операторов преобразова ния, подробно изученным в § 2 гл. П.
|
Л е м м а 2 . 4 . |
Пусть выполняются в с е условия |
т е о р е |
|
мы |
1 У . 2 . Тогда ядра Л — операторов |
удовлетворяют |
следую |
|
щим |
интегральным |
уравнениям: |
|
|
|
х. |
|
|
|
|
сЛу.*-+*-у)А^(у,яН-у,* |
y + S)dy, |
|
|
|
|
|
|
(2.75) |
|
|
|
( 2 . 7 6 ) |
|
Т ' |
1 |
|
A(x,t,*,)=- |
?Ay,*»t-y)A.gfly,x+t-y,x-y*t,)dy, |
||
|
|||
|
|
х+ |
( 2 . 7 7 ) |
Л^.Ш^Цх^ |
|
, |
-J-j^Y^,^x*t)A4^,rx.*tx-y^)dy; |
( 2 . 7 8 )
[A_/g(xAV=/cL~',cJy,x^-y)A_^(y,x^-yry-x^)a!y,
х+
г де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
cf(x,t)\ |
|
I |
0 |
, |
Alfg(x,t,th |
I |
О, |
A^x.t.t) |
|||||
W*,t) |
<> |
I |
|
\\J*,t,t) |
|
о ) |
|
[А МІ), |
|
о |
|||||
|
|
|
|
|
г і |
|
|
|
|
|
г < |
|
|
|
( 2 . 7 9 ) |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
. |
Если |
выполнены |
условия |
|
т е о р е |
||||||||
мы |
1 У . 2 , |
то верными являются |
утверждения |
лемм |
2 . 1 |
, |
2 . 2 , |
||||||||
2 . 3 . |
В частности, |
из |
замечания |
к |
лемме |
2 . 3 |
следует |
|
( 2 . 7 9 ) |
||||||
и оценки |
функций |
с |
(х,і) |
и |
сг(х,£) |
. |
Учитывая |
также |
оценки, даваемые в лемме 2 . 1 , легко заключаем, что написан
ные системы |
интегральных уравнений |
( 2 . 7 5 ) - ( 2 . 7 8 ) |
имеют |
|||||||||||
смысл . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применяя к |
правым |
|
частям |
( 2 . 7 5 ) - ( 2 . 7 6 ) |
разностный |
|||||||||
оператор |
, определяемый |
равенством |
( 2 . 4 9 ) , и переходя |
|||||||||||
к пределу |
|
, получим - C(x,t) |
А + (X, |
t, 4 |
) |
|
|
|||||||
Но согласно |
лемме |
|
2 . 2 |
(см . 2 . 5 4 ) |
применение |
к л е |
||||||||
вым частям |
( 2 . 7 5 ) — ( 2 . 7 6 ) |
в пределе И.-*-о |
дает ту |
же вели |
||||||||||
чину - C(.x,t) |
А+ ( |
х |
, |
|
. |
|
Таким образом, левая и правая |
|||||||
части |
в ( 2 , 7 5 ) - ( 2 . 7 6 ) |
могут |
отличаться лишь |
на решение |
||||||||||
Ф(Х,і, |
£,) однородного |
уравнения |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
tim |
L |
<P{.x,t,b,) |
= 0 . |
|
|
|
|
( 2 . 8 0 ) • |
|||
Учитывая, что L. Ф |
е с т ь |
разностный |
аналог |
дифференциально— |
||||||||||
г о выражения |
|
— |
-о |
|
— |
+6 |
——& |
легко получить |
обшее р е |
|||||
шение |
( 2 . 8 0 ) |
|
д і |
|
д |
х |
|
д Ь > |
|
|
|
|
|
|
Ф(х,і,К)=[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
( 2 . 8 1 ) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
— |
произвольные |
функции. |
||||
Так как вторые равенства в |
( 2 . 7 5 ) — ( 2 . 7 6 ) |
при |
как |
|||||||||||
слева, |
так и справа |
дают |
равные |
величины в |
силу ( 2 . 7 9 ) , то |
|||||||||
Фіг(і*х,і-.х)=0, |
|
Ф]{(£-хJix)- |
|
|
О |
почти |
при в с е х |
(X,t). |