Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf

(ПВХІ+RJ-

.

( 3 . 1 5 )

Умножая справа ( 3 . 1 П )

на оператор

(T-i R_ )

, к о т о ­

рый существует согласно лемме 1 . 1,получаем

( 3 . 1 2 ) .

Т а ­

ким образом, из разрешимости при любом •Х и

f

у р а в н е ­

ния ( 3 . 8 )

следует

правая факторизация

( 3 . 1 2 )

оператора

Совершенно аналогично, предполагая разрешимым у р а в ­

нение ( 3 . J 0 ) ,

получаем,

что операторное уравнение

у(х) +

B(j:,s)y(s)cLsв(сс-Л)В(л

Л.)

( З Л О )

однозначно

разрешимо почти для в с е х

U.

Пусть

у (А, Л) — решение

( 3 . 1 6 ) .

Обозначая

( 3 . 1 7 )

получаем

' у(я,Л)

= Я+(я:,Лу-К_(ят2у

+ вМ-х)В(х,Л)

. ( З Л 8 )

Подставляя

( 3 . 1 8 )

в ( 3 . 1 6 ) ,

имеем

5(x,t)R+(t,JL)dt=

К

(x,J).

Пли в операторной

форме

1

В + R++8R+=K_

.

( 3 . 1 9 )

Из последнего

равенства

получаем

I+B^(Z+K_Xr+R+y\

( 3 . 2 0 )

т.е. левую

факторизацию

оператора

I+B

. Теорема

д о ­

казана.

Фактически

при цоказательстве

теоремы

1.1

построен

алгоритм факторизации оператора

I * В

. Этот результат

сформулируем

отдельно.

Т е о р е м а

1 . 2 .

Пусть оператор

А — Т+В

доггуска-

ет

правую факторизацию

А=(1-К^)~у

(1~К_)

. Т о г ­

да

для любого

Л

существует интегральный оператор

Г

:

Д

Гл

{I+BQ^r'&^&U+Q^ey'.

( 3 . 2 1 )

Операторы

и К_

— однозначно

восстанавливаются по

формулам

( 3 . 2 2 )

где

(£,s)

•- ядро

оператора

/j

.

Д о к а з а т е л ь с т в о

. Обозначим

(7-/ff )"'= I+R

y

(I-KJ=

T+ R_.

Тогда

из правой

факторизации оператора

Т+ 3

=(I+R

R_)

получаем

( 3 . 2 3 )

Отсюда с учетом замечания к лемме 1 . 1 следует

существо ­

вание

операторов

(1+

ЗЦ^У*

и

(I

+ Q^3)~*

,

а

также

равенства

( 3 . 2 4 )

Из ( 3 . 2 4 )

легко

получаем

( 3 . 2 5 )

Обозначим

через

оператор

а + в я л у 1 з = г л ,

( з . 2 6 )

Тогда из тождества

3(1

+ Q^B)

-

(I'+

BQ^)5

,

действуя

на него слева

оператором

(2> &

Q

,

справа ( J +

Q^B)'1

получаем

Гл

= В(1+в^ВУ'.

( 3 . 2 7 )

Непосредственно

из

( 3 . 2 6 )

и ( 3 . 2 7 )

получаем

( 3 . 2 8 )

{

I

, 5 Q J

i r U l - r j L

Q 1

а также уравнения для

:

Г

2 =

3 - Г

л 4 и В

>

( 3 . 2 9 )

ги

=

* - * 4 л С і

•

(з.зо)

Из равенства

( 3 . 2 6 )

или из

( 3 . 2 9 ) легко

заключаем,

что

почти для

всех С t,s ) существует

r^(t,s)

, а

из

( 3 . 2 7 )

или ( 3 . 3 0 ) , что

почти

для в с е х

(t

,sj

существует

Г^({,з).

Обе эти функции являются ядрами Г.-Ш.

Подставим

( 3 . 2 8 )

в

( 3 . 2 5 ) ,

и полученные

равенства

запишем в

терминах

ядер

R J t ^ T (7i,s)dq , si и л .

( 3 . 3 1 )

Устремляя

J

к

^

в

( 3 . 3 1 )

її і

к 5

в

( 3 . 3 2 ) f получаем

равенства

( 3 . 2 2 ) .

Совершенно

аналогично

доказывается

Т е о р е м а

1J3'.

Пусть

оператор

А = 1+3

допускает

левую факторизацию

А = C J - / < _ ) " ' ( f - К

.Тогда

для

любого

существует

интегральный

оператор

Гг=С1 + 5РгГ'в=

в(І + Р^Є)-',

( 3 . 3 3 )

Операторы

/ft

и

К _

однозначно

восстанавливаются по

формулам

к , (

М

) =

/ ; ^ . s >

,

t>,s

•

(3.3-4)

где

(І,J)

•—

ядро

оператора

§ 4 . Двусторонняя факторизация

О п р е д е л е н и е

1 . 2 .

Если

оператор А

допускает

правую

А = (1+

З+ХГ

+ В_)

и левую А = (І + С.Ц1+

Сф)

факторизацию, то будем говорить, что А

допускает

д в у с т о ­

роннюю

факторизацию.

Простым примером оператора, допускающего двусторон­

нюю

фокторизацню, является

оператор вида

A — I+R

,

гд е

R -

оператор

Г.—Ш. и

'

.

Действительно,

т о г ­

да

(I + R РЛ)~*

и

( Г + RQj^)'f

существуют, и

согласно