Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf

А =

it+

K4)'f

(I

+ KJ-Z

+ & ,

где

К^(ос,з)

=

/7

если

0<t<2,

-?.*-s<mLn(-1,t)

,

K_(a:Ts)=-f,

если

-2<t<0,

max(t,0<st

2

,

K _ ( J C О ,

К+(.х,з)—0

в остальных

случаях.

В этом случае уравнение

(Г+ВРа)а

=0

допусказт

нетривиальное

решение

1,

при - 2 < ас < + 2

О,

при

2

,

и, таким образом, на основании теоремы

1 , 1

оператор Л

левой факторизации не допускает.

Т е о р е м а

1 . 4 .

Пусть

оператор A—I+F

имееі

обратный

К*— I'+ &

,

г д е

F

и

ff —интегральные

о п е ­

раторы Гильберта-Шмидта. Оператор

А

допускает

д в у с т о ­

роннюю факторизацию тогда и только

тогда, когда

для л ю ­

бого Л.

система интегральных

уравнений

Л

J

( 4 . 1 )

-оо 3

=

f,(x)

( 4 . 3 )

Если

из

второго

уравнения

( 4 , 3 ) Z g подставить в пер­

вое, а из

первого Ъ1

во второе,

получим

( 4 . 4 )

Учитывая,

что

легко получить

равенства

Fq2V=F(I-Pd)*r

=

F*r-FPjLfr=-F-*f-FPtZy,

( 4 . 6 )

( 4 . 7 )

Учитывая ( 4 . 6 )

и ( 4 . 7 ) ,

получаем

i-Fq^p^i+CF+y-h

FPJV)P2

=

tl+FP-Xl+trp,)

( 4 . 8 )

( 4 . 1 0 )

Предположим, что оператор A—Z^F

допускает

правую

и левую факторизацию, тогда и /К^І+і/

допускает

пра-

вую

и левую

факторизацию,

и согласно теореме

1.1

(1

+ FP^) !

существуют.

По тогда

уравнения

( 4 . 1 0 )

имеют

лишь

тривиальные

реше ­

ния

=

ї;,

=

О

.

Следовательно,

в силу

фредгольмово-

сти система. ( 4 . 1 )

однозначно разрешима

при

любой

правой

части

ff,

fz

Є

Ь£

Наоборот, пусть система ( 4 . 1 )

разрешима

при

любой пра­

вой части. Тогда однородная

система

( 4 . 2 )

имеет лишь

триви­

альное

решение

ij^Zg^O

. Н о

тогда

и

система

( 4 . 4 ) ,

а, следовательно, и

( 4 . 1 0 )

имеет

лишь

трігоиальньїе

решения.

Но тогда

уравнения

(1

+ УРЛ)

2

= О ,

(I

+ FP^Z

= О ,

(I+FQj^)Z

=

0

И

— О

имеют

лишь

триви­

альные решения Ї = О

, Согласно

теореме

1 . 1

в

этом

с л у ­

чае

оператор

I+F—A

и

I+%f—fl\~*

допускает

как

пра­

вую, так и левую факторизацию.

Теорема доказана.

Разрешимость

системы

( 4 . 1 )

эквивалентна

с у щ е с т в о в а ­

нию

матричного

оператора

(

1

'

\

,

- і

= (1+Р^РРл)С1+РАУРЛ)

( 4 . 1 6 )

Аналогично

получаем

l-QxyP-LFQ^ir+Q^Q^il+Q^FQ^

.

( 4 . 1 7 )

Учитывая ( 4 . 1 4 ) , а также

( 1 . 1 0 ) , имеем

Г + Р Л Р Р л = 1

+ РХ ( W+ + W - + W~ W + ) P J . =

- i + P ^ + P X

+ PX w_ рл + Рл w_ px w+ pd =

. (I* РГ Ъ'_РЛ)(1+

РЛ

W,PX).

{

4

Л 8 )

Совершенно

аналогично

получаем

1+РЛ V P J . - ^ I + PJi *

-

W

PJL К + ? ї ) ,

( 4 . 1 9 )

2> QXFQX

= (1+ QXRFQX)(I+

QJLR-QZ) .

Учитывая ( 4 . 1 6 ) - ( 4 . 1 7 ) - ( 4 . 1 8 ) - ( 4 . 1 9 )

делаем

вывод,

что

существуют

операторы

<I+PXK*PJ1tt+PlK-PJ1('I*Px

^ Г ^

Р ^ Л

) ^ .

2

0 )

= (H-QxR_QxQxR+

Qj f(It$2V

Qj'tt*QXV+

QjL)\4.21)

Таким образом, из 1) следует 2 ) .

Рассмотрим

матричный оператор

из условия

3 )

/

Г ,

-P.FQ

( 4 . 2 2 )

Учитывая,

что

О

1 ~

( 4 . 2 3 )

М

Легко

заключаем,

что условия

2 )

и 3 )

эквивалентны, и

( 4 . 2 4 )

V

Докажем теперь эквивалентность

условий 3 )

и 4 ) .

Существо ­

вание оператора из условия 4 )

эквивалентно

однозначной

р а з ­

решимости

при любом

he bр

уравнения

Обозначим

у , = ^

у ,

1/г=

, ^і = РЛ^

* b^-Q^h.

.

Тогда

( 4 . 2 5 ) можно

записать

в

виде

системы