Файл: Лепилов Н.С. Теория автоматического управления учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.07.2024

Просмотров: 104

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

рис. 6 .3 ,г - релейная характеристика с зоной нечувствительности и петлей гистерезиса.

Характеристики, приведенные на рис. 6 .3 ,а ,б , относятся к классу однозначных характеристик, а на рис. 6 .3 ,в ,г - к классу

неоднозначных характеристик. На рис. 6 .3 ,д ,е ,ж изображены ста­ тические характеристики кусочно-линейного типа. На рис. 6 .3 ,д изображена характеристика звена с насыщением, на рис. 6 .3 ,е - звена с зоной нечувствительности, на рис. 6 .3 ,к - звена с насы­ щением и зоной нечувствительности. На рис. 6 .3 ,з ,и изображены криволинейные статические характеристики. Характеристики такого типа имеют также звенья, описываемые тригонометрическими функ­ циями.

.R x )

 

-a

kF(x)

kRx)

X

п г

“ Г*

X

 

 

------ ►

 

tt)

 

U

a 5)

6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

e)

 

 

 

 

 

,F(x)

 

 

 

 

/

X

 

 

 

 

----►

 

 

 

Рис.

6 .3

U)

 

 

 

 

 

В систему управления могут входить звенья, которые являют­ ся нелинейными, если в дифференциальные уравнения этих звеньев входят произведения переменных или их производных.

Звенья, работа которых описывается логическими функциями,

являются также нелинейными.

материалы для проверки усвоения содержания параграфаI.

I . Из каких частей состоит структурная схема нелинейной системы ?

I2 I

2 . Перечислите типовые статические характеристики нелиней­ ных звеньев и изобразите их графики.

§ 6 .3 . МЕТОД ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ

Методические указания

В результате изучения параграфа слушатели должны знать оп­ ределения фазовой траектории и фазового портрета, порядок опре­ деления уравнений фазовых траекторий и типы особых траекторий и их графики.

Содержание

Этот метод отличается большой наглядностью и позволяет дать геометрическую интерпретации происходящих в нелинейной системе п. процессов. Состояние системы, описываемой системой п нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка (6.2.1)

=/і

С * , ,

* г , ■ • •,

 

>l)i

і = /,2, . . . , п

в каждый момент

времени определяется значением координат

х < г

д

е

п

-

п

порядок

системы.

Если

построить

 

 

- мерное пространство, по осям которого

отложены координаты системы, то значения этих координат зададут некоторую точку М (рис. 6 .4 ) , которую называют изооражающей точкой, а само пространство - фазовым (пространством состояния). Если с течением времени происходит изменение координат, то изо­ бражающая точка будет перемещаться, описывая кривую, которая называется фазовой траекторией. Начальные условия системы опре­

деляют начальное положение изображающей точки в фазовом прост­ ранстве М0 .

Р ис. 6 .4

122

Совокупность фазовых траекторий, найденных для различных начальных условий, называется фазовым портретом системы.

На практике метод фазовых траекторий нашел применение для систем второго и третьего порядка, так как для систем бо­ лее высокого порядка применение метода становится громоздким.

Состояние системы второго порядка представляется на плоскости, которая называется фазовой плоскостью. По двум осям координат

( х , у )

откладываются какие-лиоо две переменные, характеризую­

щие движение системы управления.

В качестве

двух таких

хпере­

менных часто принимают значение

регулируемой

величины

(ее

отклонение) и скорость изменения регулируемой величины

 

 

otx

 

(6 .3 .1 )

 

У = ~0ГГ

 

Порядок определения уравнения фазовых траекторий следующий.

Дифференциальное уравнение системы второго порядка может быть приведено к виду

с(гх

d t

 

 

 

(6 .3 .2 )

где F - некоторая,

tв оощем случае нелинейная функция, в кото­

рую время

не

входит

явно.

Заменим дифференциальное уравнение (6 .3 .2 ) совокупностью

двух уравнений первого порядка:

(6 .3 .3 )

d x

= У

'

 

Ж

 

Ш + П * , у ) - о -

(6 .3 .Д )

Решая уравнения ( 6 .3 .3 ) ,

( 6 .3 Л )

и исключая время t , находят

уравнение фазовой траектории

(6 .3 .5 )

 

(ос,

у ) =

0 ,

 

Укажем два общих для фазовых координат ( х ,у ) правила, которые надо учитывать при построении фазовых траекторий.

В верхней половине фазовой плоскости, где у > 0 , изобража­

ющая точка всегда движется слева направо (в сторону увеличения ж ) , а в нижней половине плоскости,где у < 0 - справа налево. Это правило используется при расстановке стрелок вдоль фазовых

траекторий

(рис.

6 .5 ) .

0

Оно вытекает из формулы (

6х.3 .1 ) , так

как при

у>0

имеем

 

 

, что означает увеличение

, а

ищ у<0

 

 

 

 

т?.

- наоборот.

 

 

 

 

 

 

на

 

оси

ос

,

уразделяющей верхнюю и ниянюю половины фазовой

плоскости, имеем

- 0 .

Это согласно

(6 .3 .1 ) означает, что

É * .= 0 ,

т .е .

скорость

изменения

х

равна нулю. Следовательно,

фазовые

 

х

 

траектории пересекают ось

 

под прямым углом.

При построении совокупности фазовых траекторий важно вы­

делить

особые

траектории, т .е . "скелет фазового портрета". К

числу особых траекторий принадлежат особые точки и предельные циклы. Особые точки соответствуют положению равновесия системы.

Предельные циклы соответствуют периодическим движениям в систе­ ме. Периодическому движению системы соответствует замкнутая траектория на фазовой плоскости.

Для осооых точек справедливы следующие соотношения:

ВІх

= 0 ;

= 0 .

Т Г

Наиболее часто встречаются особые точки типа "фокус" и " у зе л ".

Рис. 6 .6

На рис. 6 .6 ,а показан

фазовый портрет

в

окрестности осо­

бой точки "устойчивый фокус", а на

рис. 6 .6

,6

-

в окрестности

особой точки "неустойчивый

фокус".

В окрестности

особой точки

"устойчивыя фокус" существуют затухающие колебания, а в окрест­ ности точки "неустойчивый фокус" - расходящиеся. На рис. 6 .7 показаны фазовые портреты в окрестности особых точек "устойчи­ вый узел" и "неустойчивый узел'.'

Предельный циклом называется такая замкнутая траектория в соседстве с которой нет других замкнутых траекторий.

На рис. 6 .8 ,а представлен фазовый портрет системы, в которой имеется предельный цикл. Для начальных условий М 0 в системе происходит периодическое движение, т .е . существует предельный цикл с постоянной амплитудой и частотой (рис. 6 .8 ,0 ) .

ос

Для начальных условий м'0 в системе наступает затухающий

колебательный процесс (рис. б . 8 ,в ; , который изображается на фазовой плоскости в виде сходяшейоя спиралевидной фазовой іреакто-

рии. Для начальных условий М'0' фазовая траектория расходится,

что соответствует расходящемуся

процессу в системе

(рис. 6 .8 ,г ) .

На

рис. 6 .8 ,а показан неустойчивый предельный цикл,

а на р и с.6

.9

-

устойчивый предельный цикл. В

последнем случае в

системе при

 

лвоых начальных условиях движение происходит к предельному цик­ лу.

125

Построение фазовых траекторий нелинейных систем существен­ но упрощается, если нелинейное звено имеет релейную или кусоч­

но-линейную статическую характеристику (см .

рис. 6 .3 ,а - ж ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В этом случае на фазовой плос­

 

 

 

 

 

 

 

кости могут быть выделены области,в

 

 

 

 

 

 

 

пределах

которых движение нелинейной

 

 

 

 

 

 

 

системы описывается линейными диффе­

 

 

 

 

 

 

 

ренциальными уравнениями. Границами

 

 

 

 

 

 

 

этих областей являются так называе­

 

 

 

 

 

 

 

мые линии переключения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 6 .1 . Построить фазовый

 

 

 

 

 

 

 

портрет для точки, которая соверша­

ну

 

X

= А sin соі.

ет

гармонические

колебания по зако-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 6 .3 .6 )

Вначале определимсіэс

производную от координаты х :

( 6 .3 .7 )

 

 

 

 

 

=Acocoscüt.

 

 

 

исключим

Для получения уравнения фазовых траекторий

время t из

уравнений

(6 .3 .6 )

и ( 6 .3 .7 ) .

Уравнение (6 .3 .7 ) возведем в квад­

рат, причем

c& fft

 

обозначим

через

у

:

 

(6 .3 .8 )

 

у 1

 

 

 

 

 

 

-

Агüjlcosl Cüt.

 

 

 

Уравнение

(6 .3 .6 )

также возведем

в квадрат

и умножим на <ѵг :

Произведя

и>г х г

=

 

 

.

 

 

( 6 .3 .9 )

сложение

левых и правых частей уравнений

( 6 .3 .8 ; и

( 6 .3 .9 ) , получим

 

 

 

 

 

 

 

 

иди

у 1

у-

CJ*х ‘ = А 1 cj*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

(6 .3 .1 0 )

Т "

+

 

 

 

 

уравнения

фазовых

Уравнением

(6 .3 .1 0 ) представлены

траекторий

изображающей точки. Это уравнение есть каноническое уравнение

эллипса.

6.10

представлены кривые

изменения координаты

х

На рис.

 

изображающей точки

и скорости

у=

в

функции времени и фазо­

вый портрет.

Фазовый портрет

представляет собой семейство эл -

126

липсов. Каждой фиксированной амплитуде А соответствует опреде­

ленный эллипс с полуосями:

а = А , 8 = с о А .

 

Рис. 6.10

Материалы для проверки усвоения содержания параграфа

1 . Что называется фазовым портретом системы ?

2 . Общие правила для фазовых координат, которые учитывают при построении фазовых траекторий.

3 . Что называется предельным циклом фазового портрета и какие типы предельных циклов возможны ?

§ 6 Л . УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Методические указания

В результате изучения параграфа слушатели должны знать, что понимается под устойчивым движением системы и определение устойчивости движения по Ляпунову, уметь пояснить на фазовом портрете устойчивое и неустойчивое движения.

Содержание

Впервые общую теорию устойчивости для систем любого вида разработал русский математик А.м.Ляпунов. При теоретических ис­

следованиях систем ряд малых возмущений опускаем. Однако эти ма­ лые возмущения способны резко изменить характер движения систе­ мы. Назовем движение системы, при котором не учитываются малые возмущающие факторы, невозмущенным., а движение с учетом возму­ щающих факторов - возмущенным. Ѣудем считать, что движение у с -

127

тойчиво, если малые возмущения немного отклоняют возмущенное движение от невозмущенного. Поясним, о каких возмущениях идет

 

 

 

 

 

рия

Например, (разовая траекто­

 

 

 

 

 

невозмущенного

движения изо­

 

 

 

 

 

бражена

в

п

-мерном фазовом про­

 

 

 

 

 

странстве

для начальных условий

 

 

 

 

 

М0

(рис.

6 . I I ) . На рис.

 

6 .I I

 

 

 

 

 

 

принято

п = 5

. Малые

возмущения

 

 

 

 

 

 

будут смещать фазовую точку с

 

 

 

 

 

 

 

фазовой

траектории

невозмущенно­

 

 

 

 

 

го движения. Пусть возмущение

 

 

 

 

 

 

 

представляет

импульс. Нели им­

 

 

 

 

 

 

пульс действует

в момент

t

= О

,

 

но переместится в точку

Мд

то изображающая

точка

М0

мгновен­

 

 

 

 

 

 

и фазовая точка

будет

двигаться

по

 

траектории возмущенного движения. Известно, что любую непрерыв­

 

ную функцию можно представить в виде суммы смещенных импульсов.

 

 

 

Таким образом, действие постоянного возмущения можно свес­

 

ти к действию импульса. Если система устойчива при импульсном

 

 

возмущении, то для практических систем она устойчива к постоян­

 

но действующим возмущениям. Вместо малого возмущения будем

го­

 

ворить о малом смещении начального положения изображающей точки.

 

 

 

Ляпунов определил

устойчивость

системы

следующим

образом.

 

Пусть начальное смещение координат по модулю )

х ід - х'1о

| меньше

 

t.

 

Чтобы система была устойчивой по Ляпунову, необходимо потребо­

 

вать, чтобы в любой момент времени разность координат траекто­

 

рий невозмущенного и возмущенного движения по модулю

 

 

 

 

 

 

 

 

была бы достаточно мала.

 

по

Ляпунову, если можно по­

 

 

 

Движение называется устойчивым

t

добрать такое достаточно малое значение

$

в момент

времени

 

 

 

 

 

 

=

t0

, чтобы в любой последующий момент

времени

положения изо­

 

бражающих точек М и 11^

достаточно мало

отличались

друг

от

друга,

т.е . чтобы имело место неравенство

-X U < £ .

Если

движение не

обладает этим свойством, то оно называет­

ся неустойчивым.

при

t

- <=•= совпадают, т .е .

Если

траектории

 

£Ст j x £ - ѵс'с (

=

О

,

t - e o

 

 

 

 

128

Смотрите также файлы