Файл: Лепилов Н.С. Теория автоматического управления учеб. пособие.pdf

то движение считается асимптотически устойчивым. Движение ус­ тойчивое асимптотически всегда устойчиво по Ляпунову, но обрат­ ное не всегда верно.

Для линейных систем устойчивость системы и устойчивость движения совпадают. Для нелинейных САУ по виду фазового портре­

та можно судить об устойчивости движения. В зависимости от ве­ личины начального отклонения в одной и той же системе может быть устойчивое и неустойчивое движение. Поэтому вводятся в

рет с одной устойчивой особой точкой и неус­ тойчивым предельным циклом. Если начальное положение изображаю­

щей точки М0 будет в заштрихованной области, то она попадает

в положение равновесия. Если начальное положение изображающей точки Мд будет за пределами замкнутой траектории, то координаты

ее будут стремиться к бесконечности. В такой системе устойчи­ вое движение "в налом" и неустойчивое "в большом".

На рис. 6 .14 фазовый портрет имеет неустойчивую особую точ­ ку и устойчивый предельный цикл. Здесь при любом положении на­

ние с постоянной амплитудой и частотой. В системе устойчивое движение "в большом" и неустойчивое "в малом".

Материалы для проверки усвоения содержания параграфа

§ 6 .5 . МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА

Методические указания

В результате изучения параграфа слушатели должны знать, для какого класса систем может применяться метод, сущность гар­ монической линеаризации нелинейного звена и один из способов (графический или графо-аналитический) определения параметров автоколебаний.

Содержание

Метод гармонического баланса (иногда называется гармони­ ческой линеаризацией) применяется для приближенного исследования процессов в замкнутых нелинейных системах, описываемых диффе­ ренциальными уравнениями любого порядка. В этом параграфе ме­ тод рассмотрим только применительно к расчету автоколебаний. Нелинейная система состоит из линейной и нелинейной частей (ри с. 6 .2 ) . При исследовании автоколебаний входные воздействия

принимаются равными нулю, т .е . х еа. = 0 . Пусть заданы уравнения линейной части (в области изображений Лапласа; и нелинейного

звена:

130

F ( x ) - некоторая нелинейная функция переменной х , симметричная относительно начала координат.

Рассмотрим случай, когда в замкнутой системе установились автоколеоания и на вход нелинейного звена поступает гармони­ ческий сигнал

содержать спектр гармоник, который можно представить в виде ря­ да Фурье

где

о

о

'X) COSK&ji olcüt .

Для нелинейных характеристик, симметричных относительно начала координат, постоянная составляющая в выражении ( 6 .5 .4 ) отсут­ ствует, т .е . у 0 = 0 .

Косинусная составляющая появляется только для неоднознач­ ных характеристик, например, для характеристик, изображенных на рис. 6 .3 ,в ,г .

Амплитуды гармоник АК,В І< зависят от типа нелинейных функ­ ций, а после взятия определенных интегралов в наиболее распро­ страненных случаях являются функциями только амплитуды входно­ го сигнала А , т .е .

А к = А к ( а ) і В„ = В к (а ) . (6 .5 .5 )

Если линейная часть системы хорошо пропускает сигналы низких частот и подавляет сигналы высоких частот, т .е . является фильт­ ром низкой частоты, то в выражении ( 6 .5 .4 ) в первом приближе­ нии можно отбросить все высшие гармоники:

ІЗІ

Следует отметить особо то, что метод гармонического баланса и з ­ меним только для систем, линейная часть которых пропускает сиг­ налы первой гармоники, а сигналы второй и высших гармоник сущест­ венно ослабляет.

Введем понятие эквивалентного комплексного коэффициента передачи нелинейного звена. Запишем уравнения (6 .5 .3 ) и (6 .5 .6 )

в области изображения Лапласа. Согласно таблице 7 .1 имеем:

Эквивалентный операторный коэффициент передачи нелинейного звена определим как отношение изображения первой гармоники вы­ ходного сигнала нелинейного звена к изоОражению входного синусо­ идального сигнала

При заменe p = jc o получаем выражение для эквивалентного комплекс­ ного коэффициента передачи нелинейного звена

УСА ) (А) + р ( А ) . ( 6 .5 .8 )

J ( A ) является комплексной функцией, которая зависит от ампли­ туды гармонического входного сигнала А и не зависит от частоты

лексной передаточной функции разомкнутой линеаризованной систе­

WACjW)

ЭСЯ)

Р и с. 6.15

132

Hau необходимо исследовать наличие автоколебании. Автоколебания соответствуют наличию устойчивого предельно­

го цикла в системе. Предельный цикл в реальной системе соответ­ ствует нахождению линеаризованной системы на границе устойчи­ вости. При этом годограф АФХ линеаризованной разомкнутой систе­

лансом или условием существования автоколебаний (отсюда и назва­ ние метода - метод гармонического баланса). От амплитудно-фазо­ вого баланса можно перейти к балансу вещественных и мнимых х а -

В настоящее время метод гармонического баланса применяется в

параметры автоколебаний. Решение в ряде случаев удобно проводить графо-аналитически (отсюда и название метода). Автоколебания (предельный цикл) могут быть устойчивыми и неустойчивыми. Устойчивость предельного цикла можно проверить, например, ис­