Файл: Лепилов Н.С. Теория автоматического управления учеб. пособие.pdf

где

кТ

-

постоянная

времени звена;

5

-

коэффициент

передачи;

-

коэффициент

затухания.

колебательным.

Чтобы звено

было колебательным, необходимо коэф­

фициент

затухания

£

иметь

меньше единицы.

Если ^ » / ,

то про­

цесс на

выходе

будет

апериодическим второго

порядка (в

отличие

где

ifr

-

угол отклонения маятника от вертикали;

7

J

i/r(t)--

момент

инерции

маятника;

инерционный момент;

Мпф(1)-

момент, характеризующий трение о воздух и трение в

Mtpwß)-

точке

подвеса;

MajMy

-

момент от силы тяжести маятника;

М I

коэффициенты моментов;

на маятник.

-

другие

моменты, действующие

Разделив обе части

уравнения на

Му

и обозначив

!V

' /

=

Mq

Г

К

' Т

Ми

■ *

ly

1 * 7 т ж

? т e ' f T

* a c c c o s ? ) J ( г л . 24)

4 0 = T fT - 'W е

5ІП т ~ ^

^

'

(2 .4 .2 5 )

digit) і- ^ X g i t j ~K3ctxCt)

(2 .4 .2 6 )

a(t) = /r(7

- cos<s t) .

(2 .4 .2 7 )

функция веса звена определяется выражением

w i t ) =■

к®

sin sst.

(2 .4 .2 8 )

8 . Запаздывающее звено. Уравнение связи для запаздывающего

звена имеет вид

=

к х ІХ (I - г )

,

(2 .4 .2 9 )

где

*

x s (t)

- коэффициент

передачи звена;

г

- время запаздывания звена.

Процесс на выходе запаздывающего звена является повторени­

ем входного процесса, но с запаздыванием по времени

на

величину

Г

и с

одновременным изменением масштаба процесса

в к

р аз. Пе­

реходная характеристика

а(і)а

функция

веса

wit)

звена

имеют выра­

жения:

<x(t)

= * i ( t

-

Т ) }

(2 .4 .3 0 )

9 .

w(t)

= к S ( t

- V ) .

уравнении

(2 .4 .3 1 )

Неустойчивые

звенья.

Если в

( 2 .4 .1 )

хотя бы

x,(t) = к [хІХЦ)

-

Тx tx it) / ;

(2 .4 .3 2 )

ТA,it)

- X fit)

-

к Xfx (t)

;

(2 .4 .3 3 )

T*Xgit)

* 2 Г $ *,(і

)

- x ,( i) -- K X t r (t

(2 .4 .3 4 )

) .

бражением и обозначают

заглавными

буквами. Символическое приме­

нение к функции времени оператора

Лапласа

будем обозначать сле­

дующим образом:

или

X (р)

-4— ж (() .

Х(р) = L {x ( t ) J

нение вида ( 2 .1 Л )

заменяется алгебраическим.

Найдем изображе­

ния некоторых часто встречающихся функций:

а)

изображение

единичной ступенчатой функции

(3 .1 .2 )

L

У(і)} = J e ' pt i(t)dl =J e ~pt dt

;

б)

Lизображение(h i(t

неединичнойJ h l(t -Т ) е ~ptdtсмещенной= Jh e ~ptdtступенчатой функции

в)

- 1)} =О

Ч-

-

(3 .1 .3 )

изображение S -функции. На основании

фильтрующего

свойства импульса

( 1 .4 .7 )

имеем

(3 .1 .4 )

Ш } =p i t ) e~ptdt

= е ° = i ;

В

L {ff(t - V }

= J H t -t)e ~ptctt =

e ~pT.

(3 .1 .5 )

выражениях

( 3 .1 .3 ) ,

(3 .1 .5 )

запаздывание функции времени

на Г

отображается

в область аргумента

р

появлением множителя

е ~рТ.

Это является общим свойством преобразования Лапласа.

Изображения некоторых функций при нулевых начальных услови­

ях приведены в таблице 7 .1 .

Существуют более подробные таблицы.

Лапласа.

Изображение смещенной функции. Если

x(t)~+-X(p),

то

1 .

—

e ~ P r X ( p ) .

х г

(3 .1 .6 )

x {( t) -h Х,(р)

2 . Линейность оператора. Если

и

(1)^-Хі (р)>

то

x(t)

=

х $ )

х г(1)~-t-X (p) =Х,(р)

-I- Хг (р)

(3 .1 .7 )

+a x(t)

—4-

а Х(р)

и

(3 .1 .8 )

при а - const.

x ( t )

-т-

Х(р)

, то

3 .

Изображение производной. Если

± t l ) ~ s - р Х ( р ) - х ( д ) .

( 3 .1 .9 )

При нулевом начальном значении функции

х (і)

изображение произ­

водной равно изображению функции, умноженному н а

р

, т .е .

X (I) —і- р Х(р) .

( З .І .І О )

L { ~ < u « t) ]

= рПХ(Р} '

L ( х (t)J =Х(р)

( З . І . И )

4 . Изображение интеграла. Если

, то

L ff L (t) d t J

•

(3.1.12)

х

иет

оо

= € іт р Х(р).

( З .І .І З )

?

р~о

Выражение ( З .І .І З )

является очень важным, так

как позволя­

ет по изображению функции найти ее установившееся

значение. Оно

широко используется при анализе точности САУ.

ее оператору.

6 . Определение начального значения Функции по

Начальное значение функции определяется выражением

( 3 .I .I 4 )

х ( О ) = e i m x ( t ) = & n j X ( p ) .

7. Изображение свертки двух Функций. Выражение

у С £) -

і

( З . І .І 5 )

/ Х /( Т ) х г Q- ~ ч) Ыт