Файл: Лепилов Н.С. Теория автоматического управления учеб. пособие.pdf

называют сверткой функций xt(t)yi х г(і).

Изображение функции

определяется зависимостью

(3 .1 .1 6 )

L {> Jx £ C) x ^ t ~‘V af'rJ = Х{(р) Х г (р ).

Уравнение ( 3 .I .I 6 ) можно использовать

для записи связи меж­

ду выходным и входным сигналами в

операторной форме. Действи­

тельно

уравнение

(2 .3 .4 ) является

сверткой

функций

w(t)u Xgjâ,

поэтому

Х с(р)

= W(p)Xlor(p) ,

(3 .1 .1 7 )

X (р) =

а

р * (X

аі Р гХ((р)

*

Xg(p) = д,рХег(р)+1Л,*Ср).

Материалы для проверки усвоения

содержания параграфа

2 .

Как отображается запаздывание функции времени на г в

области

изображения Лапласа ?

3 .

Назовите основные свойства преобразования Лапласа.

4 .

Определите изображение Лапласа функции

x ( t )

= 5 е 2t + ІОе ~s t .

§ 3 .2 .

ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ

Методические указания

Содержание

( 2 .1 .1 ) линейной

систе­

Запишем дифференциальное уравнение

мы в области изображений Лапласа, считая начальные условия ну­

левыми ап(САУр пХпредварительнов(р) + ап_ ,р пЧХне6(рвозбуждена)+ <x0Xi(pJ):

=

Xlr (p)-

^ьх (р) + ^т-іР

<Xsj p ) +-- + b0XtJp ),

(3.2.1)

где

изображение

входного

сигнала

x grpt);

Х6(р)

-

х t Ctj.

изображение

выходного

сигнала

Х 6 (р)

,

Вынесем

за

скобки

в правой части выражения ( 3 .2 .1 )

а в левой части -

Х6я.(р)

Xß(p) [ а « р п-<-

р п~*+■•■+ a0]=X(jpj[6mpn'+öm.,pn’P ' *8llJ ,

откуда

&трт+ бтчр т *+■•• + 8д

X s j p j

~ а „ р я+ а п_ , р я- ' . . . . . * в

Правая

часть

выражения

( 3 .2 .2 ) является

дробно-рациональ­

ной функцией

относительно

р

, которую будем

называть передаточ­

ной функцией.

Передаточную функцию разомкнутой системы

будем

обозначать

через

Щр),

передаточную функцию

замкнутой

системы

- через

Ф(р),

а

передаточную

функцию типового звена -

через

К(р) =

Х в(р)

( 3 .2 .3 )

Х„(р) =К(р)Х1х(р) .

( 3 .2 .4 )

Существует определенное важное соответствие между передаточной

функцией и функцией веса.

(системы)

действует сигнал

в виде им­

Пусть

на

входе

звена

пульса

$ (t).

Тогда

выходной сигнал есть функция веса

звена

w(tx

При этом изображению входного сигнала

Xl x (p) = L

выходного

сигнала

соответствует

изображение

Х ,(р ) =

L {w(t)} = W ( P') .

К(р)

Отношение этих изображений есть передаточная функция звена

Таким образом,

Х$(р)

=

W(p).

Х * ( Р )

Итак, передаточная функция звена (системы) есть изображе­

ние его функции веса .

Рассмотрим передаточные функции типовых звеньев.

I .

Передаточная функция усилительного звена. Имеем уравне­

ние

связи

звена

x g (t)

=

я

х йх. ( t).

Взяв

изображениеXg (р)от= левойл Xgx и(р)правойj

частей равенства,

получаем

откуда

К ( р ) =

Х в Со) к

'

( 3 .2 .5 )

X * (Р) ~

4 Зак. 189

49

ние

связи звенаx g (t)

t

= y f xtx 4 t)A i.

Взяв

изображение

в

от левой и правой частей равенства, получаем

откуда

К (jp)

=

Хе(р)

і

( 3 .2 .6 )

Xtx(p)

Тр

Изображение

x e (t) =

Т А.e x it) .

будет

откуда

* е ( Р ) = Тр Х1х(р ),

(3 -2 - 7)

К С р > - ^

Г ' Т р -

4 . Передаточная функция апериодического звена.

Имеем

Т Xg(t) + Xf(t)

= к x t x (t)

Изображение

будет

= и Xtx (p) ,

Тр Х,(р) + Хе (р)

откуда

Хв(р)

к

( 3 .2 .8 )

К(р)

= Хіх (р)

Тр + { ‘

5 .

Передаточная функция Форсирующего звена

первого поряд­

к а . Имеем

x e(t)=K [ x 8xCt) * T x ,x (t)].

Изображение

будет

Х$(р) =

к [Х 1х (р) + Тр Xex(pjJf