Файл: Качуринер Д.М. Теоретическая механика (краткий курс лекций) учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.07.2024
Просмотров: 120
Скачиваний: 1
m K m S |
- неизменяемое расстояние, следовательно, |
|
d ( , m K m s ) i mKms
§ 15. Работа для некоторых частных случаев
I . Работа силы, приложенной к твердому телу, враща ющемуся вокруг неподвижной оси (рис. 107).
Пусть точка /И проходит путь als
|
$А =?at:z= &cpols='3:f ? c lf у |
|
||
|
|
■ у |
|
|
|
<5у ѵ=М2 (& ) 7 |
|
||
|
2. Работа силы веса . |
|
||
|
Сила веса - |
консервативная |
||
Рис. 107 |
сила. |
Па = 0 |
|
хОу* |
лы веса / 7 = -т ^ г |
Потенциальная энергия для си - |
|||
- считая, что |
|
на плоскости |
|
|
|
|
|
159 |
|
Работа силы веса будет:
А ^ П -П ^ т ^ (г г-2,) -
3 . Работа упругой силы:
а |
<7 |
= сх , |
|
|
|
|
аСj |
|
схг |
&е |
|
||
. Г - „ А - Г « Л г - |
2 |
I |
? |
|||
J |
|
J |
|
1 |
||
а€ |
|
о |
* |
|
о |
|
4= |
сл € 2 |
|
|
|
||
|
„ |
|
|
|
||
Глава Ш. У Д А Р
§ I . Мгновенные силы
При ударе мы встречаемся с категорией сил, расчет действия которых представляет некоторые особенности. При взаимном ударе двух тел мезду ними возникают весь ма большие давления, но действуют эти силы ничтожно ма лые промежутки времени.
За время удара давления растут от нуля до некоторо го максимума. Опытами установлено, что время удара из меряется тысячными и даже десятитысячными долями секун ды.
Силы, возникающие при ударе, называются мгновенны ми силами. Мгновенная сила, действуя в течение ничтож но малого промежутка времени, достигает при этом на-
столько больших значений, что ее импульс за время ее действия есть величина конечная. При ударе материальная точка мгновенно изменяет свою скорость на конечную вели чину. Определим результат действия мгновенной силы. Пусть точка движется под действием приложенных сил. Рав
нодействующая этих |
сил |
7, |
|
. Пусть в некоторый7момент |
|
|||||||||||||
на точку начинает действовать мгновенная сила |
|
|
, z ко |
|||||||||||||||
торая перестает действовать через малый промежуток |
. |
|
||||||||||||||||
|
Рассмотрим теорему об изменении количества движения. |
|||||||||||||||||
|
Скорость |
точки |
t2~ |
до удара |
в момент времени |
tr |
o< |
, |
||||||||||
а в |
момент времени |
М |
7 |
|
> импульсы |
сил |
|
и |
|
|
|
|||||||
S |
|
7 |
|
7, |
со |
|||||||||||||
ответственно |
S |
и |
|
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
=і5’^ 5 / |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Импульс |
|
т |
|
, |
а импульс |
|
конеч |
|
|||||||||
|
S, |
- |
импульс |
силы |
7, |
|
|
|||||||||||
ной |
силы за |
ничтожно малый промежуток |
времени |
Z - t2-t,~ |
|
|||||||||||||
- величина бесконечно малая. Импульс |
|
же мгновенной |
си |
|
||||||||||||||
лы |
J |
- величина конечная. Следовательно,/7?c|-/77câ= 6 , |
||||||||||||||||
или |
|
|
|
V - V |
|
S_ |
|
|
|
|
|
(56) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
г f |
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Отсюда видно, что изменение скорости произошло на |
|
||||||||||||||||
конечную величину. |
время удара |
ничтожно мало. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Перемещение за |
|
|
|
|
|
||||||||||||
h 2 . Удар точки о преграду. КоэФФидиент восстановления
Пусть точка ударяется о преграду со скоростью у , , образующей угол ы с нормалью к поверхности (рис.І08).
Через промежуток Ъ точка отскакивает со скоростью ѵ-г , причем под углом р . Зная величину и направление
скорости падения, найти величину и направление скорости отрахения. Для этого воспользуемся теоре мой об изменении количоства движения $т=0)
так как ударннй импульс направлен пе нормали. n?U2z-mO;T~Sz ,
(57)
Для определения неизвестных воспользуемся допущени ем, сделанным Ньютоном, а именно: отношение абсолютных величин проекций относительной скорости тел после уда ра и до удара на направление общей нормали к поверхно сти тел в точке соприкосновения есть постоянная вели чина, не зависящая ни ет относительной скорости, ни от размеров тел, а лишь от их материала. Это отношение называется коэффициентом восстановления. Значит
'гл |
=к 1 |
°'гп ~ к Чп |
(58) |
|
W,n |
||||
|
|
Коэффициент к характеризует, насколько восстанавли вается нормальная составляющая скорости после удара.
Если нормальная составляющая скорости после удара равна нормальной составляющей до удара, то удар назы вается абсолютно упругим, при этом к = 1 .
Для реальных физических тел 0<^к<і.
1 6 2
Если к |
= О , то |
удар называется абсолютно неупругим. |
Из (57) |
и (58) |
найдем: |
Найдем связь меаду углом падения и углом отражения.
чоі = ~
Ъп Ъп
Следовательно, получили выражения для определения ско рости и угла после удара
Sn=' rni/m V + k ') »
■ |
( 5 , ) |
Коэффициент восстановления опытным путем |
можно опре |
делитьк,так. Опустим иарик без начальной скорости с вы |
||||
соты |
на плиту из испытуемого материала |
(р и с. |
109 ). |
|
После удара шарик поднимается на высоту |
к г . |
Если |
пре |
|
|
|
|
|
|
небречь сопротивлением воздуха, то скорости до удара
■ оиио определить таи:
163
§ 3 . Прям ой центральный удар д в ух тел. Ск о р о с т и
тел после удара. Потеря кинетической энергии
п р и ударе
Линией удара называется общая нормаль к поверхно сти соударяющихся тел, проведенная в точке их соприкос новения. Удар называется пряный, если скорости тел до удара были параллельны линии удара. Удар называется центральным, если линия удара проходит через центр масс соударяющихся тел (ри с. П О ) :
и t/2 - скорости тел до удара;
ü' и - скорости тел после удара.
Найдем £? ш йг .
Напишем соотношения для скоростей. Для этого вос пользуемся законом сохранения количества движения и ги потезой Ньютона:
т, и,Х+т2и2Х~ ГП>Чх + т2*гх
|
|
|
|
|
т„ |
|
U2X~и/ х ~ ^ ( У х ~ ^2 Х ) |
|
|||||
и |
/X |
—-с/ |
- |
</■ |
: |
|
|
w/ |
1 и/X= |
I |
|
||
|
|
-г ~ m2U V-t |
7+тг к с?г |
|
||
|
т( V; + тг оrri'i- т2 |
|
> |
|||
|
(/: ( т - т 2 к ) t т 2 (J+k) Ог |
|||||
|
' |
|
m t t m 2 |
|
•> |
|
|
m, -нг>2о-гу |
-m,k0-г |
|
|||
|
|
|
mtу т2 |
|
|
|
|
Частные случаи: |
удар |
|||
|
I ) |
Ъ = 0 |
- |
абсолютно неупругий |
|
|
|
|
|
||
U |
т, tSf +/?72 |
|
|
т .е . |
|
/= |
|
mt+ тг |
|
ті+ т2 |
|
( б О
«с
Ы! и 2 *
165
Если /77( * т2 , ГО |
£/,= = |
2)- абсолютно упругий удар
(ml-m2)o-+2m2<ss
и |
' |
|
/77, |
+ т2 |
"" > |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
2rni |
+(m2-mt) о) |
|
||
иг~ |
, то |
rnt t т 2 |
} а ^ 2= |
, т .е . те |
||
Если т = т 2 |
<^/ = ^ |
|||||
ла обменяются скоростями.
Для определения потери кинетической энергии при
ударе |
рассмотрим изменение |
кинетической энергии: |
||
|
|
■л Т - тг |
тІ Г : |
|
Tf |
- |
кинетическая энергия до удара; |
||
Т2 |
||||
|
- |
кинетическая энергия после |
удара. |
|
Будем |
считать, что тела движутся |
поступательно.Тог- |
||
н2
т |
^ |
2 1 |
2 |
|
Т* |
:2 |
m* U* r T m,U'-'- |
іиГ V ?) = |
|
лТ=Ѵ т, ( ? Г |
^ т2 |
|||
* |
Т т, ( Ѵ ^ ) ( Ѵ |
|
(и2~°2)(?2+ *2) * |
|
Ібб
