Файл: Качуринер Д.М. Теоретическая механика (краткий курс лекций) учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.07.2024
Просмотров: 113
Скачиваний: 1
Переносное движение |
- |
|
вращение |
вокруг |
оси |
|
в |
с |
угло |
|||||
вой скоростью |
со |
|
. |
Ускорение |
переносного |
движения - |
||||||||
we - c o u s i n |
oL |
’ |
и направлено |
к оси вращения. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
^e~~rni <^e |
|
|
|
J^^sinde |
|
|
|
|
|
|||||
Подсчитаем Кориолисово ускорение. 0но равно: |
|
|
||||||||||||
ü>c=2(ü>e*<Sz) |
» |
а величина |
|
|
|
, |
|
|||||||
и)tf-^sin(co/ltf-z ) = 2 c ü c ü ,p ^ s in </г ) |
|
|||||||||||||
си-с =2sin(cö* <s?)= cos<x , |
значит |
|
|
|
|
|||||||||
urc = 2cocu, fa cos öl |
, |
а |
сила инерции |
|
|
|
||||||||
Uc - 2-п^cocop^cosd. , |
так |
как |
Jc = ~ т - и/с . |
|
||||||||||
Из расположения сил инерции видно (рис. 11*0, что |
||||||||||||||
главный вектор относительных сил |
инерции |
Rr = О |
|
, глав |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ный момент |
относи |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тельных |
сил |
инер |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ции |
М07= 0 |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Главный |
вектор пе |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
реносных |
сил |
инер |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ции |
Re =0 |
|
и |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
главный |
момент пе |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
реносных |
сил |
инер |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ции |
Мов=0 |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
главный |
вектор |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
криолисовых |
сил |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
инерции |
R c - |
О j |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а_главный |
момент |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М осФО |
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12 |
1 7 7 |
AI - главный момент всех сил инерции.
Кориолисовы силы инерции образует момент относитель
но линии узлов:А1С~ гг>і |
а>ср - cosd~ j |
ппг ~Рі |
dpH Р 1 |
где - масса единицы объема;
И- толщина диска.
Тогда момент кориолисовых сил инерции определится интегралом такого вида:
я
=2Н$и>и>,Зі |
4 |
= J |
($Hjr/?Z) R 2cvcü, |
О |
|
Р_
- масса диска.
?
Значит главный момент, который равен моменту всех кориолисовых сил инерции, будет иметь вид:
где |
M --L |
—Р І-1»шсог Огісосо, , |
- момент |
инерции диска относительна оси г, , |
- гироскопический момент.
Эха формула представляет частный вод формулы Жуков ского .
5 и . Приближенная теория гироскопических явлений
Г и р о с к о п о м называется симметричное твер дое тело, движущееся вокруг неподвижной точки, лежащей на оси его симметрии.
Различает гироскопы с одной, двумя и тремя степеня ми свободы. Число степеней свободы определяют по отно шению к основанию.
Основные допущения приближенной теории
Собственное вращение поддерживается постоянинм.Для быстровращаюцегося гироскопа угловая скорость нутации и угловая скорость прецессии малы по сравнению с угло вой скоростью собственного вращения»
2) ^ -и )^ const |
- угловая скорость собственного враще |
3) ось Ог, - |
ния; |
главная центральная ось инерции; |
|
Ъ Г 7' |
|
// |
приближенно. |
- |
Так как сѵ, направлена по оси собственного вра щения Ог, ,
179
то
Следовательно, |
момент внешних сил |
М0 |
перпендикулярен |
|||||||
к ос* |
Ог, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
_П о |
-теореме |
об изменении кинетического момента имеем: |
||||||||
dKg |
Мя |
|
|
dK0—а |
- |
скорость конца вектора |
||||
Кл ■ |
|
|
й=М 0 |
- |
||||||
d t |
" 0 |
>но |
d t _ |
_ |
теорема Резаля. |
Обозначим гиро |
||||
» ^зңачит, |
|
3.0 |
. |
|||||||
скопический момент |
|
3,0 |
- |
гироскопический момент |
||||||
уравновешивает момент внешних сил, следовательно, |
||||||||||
|
Z 0- - V 0 |
|
|
|
или |
|
|
3-о~~ |
а • |
|
Пусть ось |
Ог, |
вращается |
с угловой |
ск о р о ст ь ю ^ , |
||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и=й>гхК 0=Ѵгі(й>2х со ,) ,
3.0— o ^ - U " x " а?і(и),хи)2 ) ■
Величина гироскопического момента:
O^co^to^stnfco, со2) •
Найдем угловуп скорость прецессии, т .е . угловую скорость вращения основания:
<7-/% 7 “ >2* К =/ІІ0 , |
<ö 2 l m |
0 |
, |
слева |
умножим последнее равенство |
векторно |
на |
К0 |
іао
Отсюда
_ |
Кох М 0 |
Т.1С. |
\ < Ч |
K j ‘ 0 |
КО |
||||
|
2 |
|
|
|
Глава У . МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
$ I . Свободные колебания материальной точки в среде без сопротивления
х |
Точка с массой т |
двинется прямолинейно. Пусть ось*- |
|
|
- траектория |
точки. |
На точку действует одна сила, |
величина которой |
пропорциональна расстоянию, а направле |
||
ние |
- обратно направлению движения (ри с. I 15 и I 1 6 ). |
||
? * г - с * *
где с - коэффициент жесткости или квазиупругий коэф фициент.
По второму закону Ньютона можно написать следующее уравнение:
mâ?+Cx=0 .
Уравнение ( I) - дифференциальное уравнение свобод ных незатухающих колебаний точки. Уравнение ( I ) - ли-
І8 І
нейное однородное дифференциальное уравнение второ го порядка.
nt ЦП и
v w \ p |
/■/ |
! |
rrm |
|
//' |
////// ' / / ) / |
|
|
Рис. II5 |
|
Рис. .116 |
Разделим уравнение ( I ) на коэффициент при высшей производной и получим
|
|
|
|
|
х+ —- х = 0 . . |
|
|
|
|||
|
Обозначим |
|
/?? |
|
горда |
|
|
|
|||
|
— = Л . , |
|
|
|
|
||||||
|
Будем |
|
. |
X + А . Х - 0 |
|
|
(2) |
в'форме |
(2) |
||
|
искать |
решение |
уравнения. |
Эйлера; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
t |
t |
|
|
: |
(3) |
’ |
|
и |
|
|
x^ C è'/г |
постоянные |
|||||
С |
к |
-неизвестны е |
величины. Для |
||||||||
их |
определения |
недставжм |
(3) |
в (2) |
|
|
|
||||
Равенство (Л) будет справедливо при любом значении
Ітолько тогда, когда
О. (5)
Уравнение (5) называется характеристическим уравне нием. Корни характеристического уравнения:
Это значит, |
что |
h ,zm±.i& o |
' |
|
|
|
|
|
|||
решение (3) |
можно записать так: |
|
|
||||||||
|
|
х -с,*-гЛottC 2e iAot |
|
(б) |
|
||||||
или по формуле |
Эйлера |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x=AcosAgt *BsinA0t . |
(7) |
|
|||||||
Произвольные постоянные |
|
А и В |
находим из |
началь |
|||||||
ных условий |
движения. |
|
, |
|
|
s in 0 = 0 |
|
||||
Пусть при |
t ° Q |
Х = х0 |
Х=СС0 . |
|
|||||||
Тогда |
х д = А |
, |
так |
как |
Со$0 = і 7, |
а |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x = -AA0sir?A0ti-ßA0cosA0t |
найдем |
|
|
||||||
и отсюда, подставляя |
начальные условия, |
ß |
|
||||||||
|
|
*о =в А 0 7 |
|
|
Л О \ . |
- |
вид: |
||||
Окончательно решение (7) будет |
юіеть такой |
||||||||||
|
|
X *x0cosA0t+ ~ |
|
sinA01 , |
|
Cß) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
183 |
' ’hsi
Лч>'
