Файл: Качуринер Д.М. Теоретическая механика (краткий курс лекций) учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.07.2024
Просмотров: 114
Скачиваний: 1
важной |
точкой связывают неподвижную систему координат |
|
|||
(ри с. |
4 7 ). |
|
|
|
|
Координатные системы могут быть различные. Рассмот |
|||||
|
рим движение точки относитель |
||||
|
но декартовых координат. По |
||||
|
ложение точки в любой момент |
||||
|
времени |
для этого случая оп |
|||
|
ределят |
координаты |
у , г |
. |
|
|
Задавая эти координаты, как |
||||
|
функции времени, можно опре |
||||
|
x ~ x ( t ) |
|
|
|
|
|
делить положение точки: |
|
|||
|
|
|
; |
(2) |
|
|
Ѵ - у М ’ |
|
|
||
|
2= г |
( £ ) - |
|
|
|
Выражение (2) - уравнения движения в координатной форме.
Уравнения (2) можно рассматривать, как уравнения траектории, заданной в параметрическом виде (параметр - время t ) . Если из уравнений (2) исключить время, то получим уравнение траектории в явном виде.
3 . Естественный способ
При естественном способе задания должны быть зада
ны:
1) траектория точки;
2) начало отсчета - точка Л10 (рис. 48) ;
3) направление возрастания дуги.
55
Уравнение движения в этом случае будет следующее:
(О- O '(t) |
(3) |
§ 2 . Скорость точки
Скорость - это путь в единицу времени. Но более точ
ное определение скорости можно дать для всех трех спосо бов задания движенія точки.
I . Векторный спосо#
На рис. Ч9-. |
А"г = і ( іі- Д І)- ? (t)y |
вреия |
0 0 |
||||
А t |
= £ Л , |
- |
средняя скорость за |
A t . |
|||
■^L. |
|
|
|
|
|
|
|
|
'd im |
Ц- |
= d і т |
-------- |
d i |
|
(5) |
|
d t |
|
|||||
|
ü t ,- ~ Q |
р |
й Т,— ~ 0 |
A t |
|
||
|
|
|
|
||||
57
Формула (5) - выражение скорости для векторного способа задания. Скорость точки ^ направлена по ка сательной к траектории.
2 . Координатный способ
Таксіткак |
d jx i+ t i+ z b ) |
|
d(x'I), то |
скоростьЫ ( ф |
d(zk) |
||||||
^. |
|
_ |
|
+yj.+ жк |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
dt |
|
|
dt |
dt |
dt |
||||
|
|
|
dt |
dt |
t |
|
dt |
|
7 |
|
|
потому что |
|
di _ |
dj. |
_ |
al£ |
_ n |
|
|
|||
|
~ dt~ ~ dF |
- |
|
7 |
|
||||||
так |
как |
векторы |
|
|
~ ~di ~ ° |
величине и |
|||||
|
|
|
|
постоянные по |
|||||||
направлении. Вектор скорости можно представить в виде суммы векторов:
отсюда следует, что
58
Величина скорости
|
ts = |
,/„ |
2 • о ~ 2 |
• |
(7) |
|
|
|
p |
|
+ Z |
|
|
Направление скорости определяют по направляющим ко |
||||||
синусам: |
|
|
|
|
|
|
_А_ |
_Л_ |
У |
Л _ |
• ^ |
||
cos(ë,i) =— ; |
cos(J},j.)=— } |
cos(d-1k ) - ~ |
||||
І а |
3 . |
Естественный спесой |
|
|||
рнс. 50: |
|
z ( t + â t ) - ? ( t ) |
i |
|||
|
|
|
|
ѵ _ / Л б = |
|
|
-/>irn |
= 't |
- единичный вектор касательной. |
д<5
§3 . Ускорение точки
I . Векторный способ
Ускорение - темп |
изменения |
скорости. |
|
|
|
|
|
Изменение скоро |
|
|
|
|
сти (рис. 51, 52): |
|
|
|
|
—д £ = WѴУср |
-среднее |
|
|
|
ускорение. |
|
Ускорение в любой момент времени |
|
|||
W=dim |
до- |
do- _ d2z |
(io ) |
|
— |
dt |
~ dt2 |
||
ä t - o |
А * |
|
|
|
Вектор ускорения точ ки равен первой производ ной по времени от вектора скорости или второй про изводной от радиус-векто ра точки.
где |
и |
- скорость |
движения |
> |
d i ) |
|
|
|
и= W |
|
|||
|
|
годографу |
|
конца вектора скорости по |
||
|
|
(рис. 5: !) . Следовательно, |
|
. |
||
6 0
Скорость |
<7 |
точки, |
вычерчивающей годограф ско |
|||||||||
|
|
|
|
|
рости, совпадает |
по |
величине и |
|||||
|
|
|
|
|
по |
направлению с |
|
ускорением |
||||
|
|
|
|
|
ектории. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
Координатный |
|
способ |
|
|
|
|
|
Заданы уравнения |
движения: |
|
|
|
|
|
|
|||||
Скорость |
ТОЧКИ |
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|||
& =-0-х І + |
|
Ib^ic . |
|
|
|
|||||||
Ускорение точки |
_ 4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
- atU- |
|
d , |
- |
- |
|
dtfy-r |
cb- _ |
> |
(12) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i ? чi |
|
|
d t |
|
d t |
d t |
|
7 |
|
|
|
|
1 |
к |
- постоянны по величине и направлению. |
||||||||||
Ускорение можно спроектировать на координатные оси, |
||||||||||||
тогда |
|
|
W -V C T tW .l+ W L Ir |
. |
|
|
|
(13) |
||||
|
|
|
Y* ttw y t |
|
|
|
|
|||||
Следовательно, |
коэффициенты при одинаковых ортах |
|||||||||||
61
