Файл: Качуринер Д.М. Теоретическая механика (краткий курс лекций) учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 25.07.2024

Просмотров: 115

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

должны быть равны, т .е .

d 2x

_ ..

 

dox

 

 

w* - d t

 

 

 

o/о,,

с/г£

( « )

У

Olt

d t2

р у = .

c/o-.

ct‘*

 

d t

d t2■= г

*

 

 

 

Проекции ускорения на координатные оси равны вто­ рой производной по времени от соответствующей координа­ ты или первой производной по времени от проекции скоро­ сти на ту же о сь .

Величина ускорения

 

 

 

 

W -jâc2*y.2+Z 2

'

 

 

 

 

(і5)

 

Направление ускорения определяют через направляющие

косинусы:

W,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W,г

 

 

 

 

.- / L .

 

 

cos(W ,j)=^r ;

cos(W,k)~—

-(I6)

 

cos(W7I)= — •

способ

 

 

 

 

 

 

 

3 . Естественный

 

 

 

 

 

Рассмотрим кривую, которая в общем случае неплос­

 

кая .

 

 

 

 

 

 

 

 

касательную

с ортом

Z

,

Проведем через точку /И

 

 

а через

 

 

-

касательную с

ортом

Т,

.

Затем

по­

 

строим

плоскость,

параллельную

Z,

•

Для

этого

 

из

точ­

ки /И

проведем

 

прямую

/Иа

||

Z,

 

•

Плоскость, прове­

 

денная

через

М І ,

М,

,

будет

параллельна

Т,

.

Будем

приближать

 

точку

 

 

к точке

 

/И

,

при

этом плос-

 

6 2

кость M 'C jM a

 

будет

поворачиваться,

и , когда М ,

совпадет с

 

/И

,

займет

предельное

свое

положение.

Эта

плоскость

называется плоскостью

кривизны

или

с о п р и ­

к а с а ю щ е й с я

плоскостью

( I ) . Прямые, проходящие

через точку

М

 

и перпендикулярные

к /касательной

Г ,

называются

 

нормалями к кривой в

точке

И .

Все

 

нормали

лежат в одной

плоскости,

проходящей

через точку

Л1

и

перпендикулярной

к

касательной

Ъ

. Эта плоскость на­

зывается

 

н о р м а л ь н о й

п л о с к о с т ь ю

к кривой (П ). Нормаль, по которой пересекаются сопрнка-

сающая плоскость с

нормальной плоскостью,

называется

г л а в н о й

н о р м а л ь ю . Угол между

М ?

и

М а

называется

у г л о м

с м е ж н о с т и ,

соответству­

ющим дуге

А

 

Срис • 5 4 ).

 

 

 

Рис. 54

6

Отношение

к р и в и з н а , - £

63

Проведем через точку Д7 прямую, перпендикулярную

ки к соприкасающейся плоскости. Эту прямую будем

называть

 

 

б и н о р м а л ь ю .

 

 

 

перпендикулярные

оси .

В т о ч к е /VJ

получили

три взаимно

Z7 п 1 d

-М называются

естественными координатными

осями в точке

 

 

 

_

 

разложенным по

этим осям,

 

Представим ускорение

W

 

 

 

 

 

W^WpTtl/^ n + Wgé .

 

 

(17)

 

Определим, чему равна каждая из этих проекций:

 

 

 

 

di?

d ,

 

dt? -

 

d z

 

 

 

W= dt

 

dt

 

 

dt

 

 

dt

 

 

d z s-

M

 

 

AT - „

 

t

- л .

6 a 6

—r - = t t m

---- — —п - с г т —----- -- n -Czm

— 7=V2

€ t m

— - — т a

dt

 

 

At

 

 

At

 

 

 

 

At

At—О

A<3 At

 

ät—O

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—~

М — _ _

 

 

 

(рис.

 

55 )^

 

=n -dim

d im

— — —/7

t?

 

 

 

 

0

 

л в

 

—

ä i

 

P

 

 

 

 

 

(18)

 

 

 

 

 

d<? —

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w - 7 T T y

 

 

 

по бинормали

 

 

 

 

 

 

 

 

Составляющая

 

 

 

 

 

 

 

равна нулюWz.

-

касательное

 

 

 

 

 

 

 

 

dt? -

—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ускорение. Это ускорение показы­

 

 

 

 

 

 

 

вает, как скорость изменяется по

 

 

 

 

 

 

 

величине.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ 2 -

ш

 

 

-

нормальное ус­

 

 

 

 

 

 

 

~~р~n ~wn

 

 

 

показыва­

 

 

 

 

 

 

 

корение.

Этв ускорение

ет , как изменяется направление вектора скорости.

6И

Полное ускорение равно:

(19)

 

 

1)

если

ИС = 0,}

точка движется равномерно, но

 

 

2)

если

ЩтО,

криволинейной

траектории;

 

 

 

 

 

 

 

точка движется

прямолинейно с

 

 

3)

если

WT= o \

переменной

скоростью;

 

и

 

 

w„-°\

точка движется

равномерно

 

 

 

 

прямолинейно.

точки

 

 

 

 

 

§ 4 .

 

Частные

случаи движения

 

 

 

 

Траектория,

I .

Прямолинейное движение

 

ли­

ния.

по которой

движется

точка - прямая

— .--------

+

----------- — от

Примем

эту

прямую

за ось

X

•

 

d x

 

 

-

уравнение

движения

точки.

 

 

 

x = x ( t )

 

 

 

СК0Р °СТЬ*

 

 

 

 

 

.ж »

 

Т1Г dt/x

 

 

••

 

 

 

 

 

t^=x/ = ~dt~ ~ Х

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ру = - ^ — = дг -у ск о р е н и е .

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим возможные случаи ускорения:

 

 

 

a ) W x = o ;

 

€ ) Wx = a - c o n s t ; с) W = f ( t ) ;

 

 

 

ъУѵ-^гХ-С-const*

usx =x = 0 * x = C t+ x 0

- уравне­

 

 

 

 

 

 

 

 

ние

равномерного прямолинейно­

 

5

 

 

 

 

 

 

го

движения;

 

 

65

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uAx —jc = o t - c o n s t

 

 

6)

=attü-0

 

 

 

i/x а Ir*

j ;

уравнения равноперемен-

 

x - ~^Г f

+хо^

e) jc^ensincot

г

ного движения}

> это дви­

при a -con

жение

называется гармоническим

st'i u>= co n st

 

колебанием

 

»• 2 2

і/^ х^ асо coscot ; ccA=öc = -acO s i n c O t = - c O x .

--------------- ~гг~

I )

O ^ JT<

U i

-

движение

замедленное*

 

oco

 

При t -

t

 

-z—

 

 

 

 

 

2co

X = a ;

я: =0

',

И ^=-асОг -

 

2cO

u

6L

 

 

движение

ускоренное.

 

 

CO

 

 

j

При

 

 

3 S

x =

(A ^ -acO , W ^Q

3)

- £ < t <

a)

-

 

движение

замедленное,

 

2cO

 

 

CO

331

 

 

 

При Ж -

< t <

 

 

 

 

 

?

 

4)

t= 2Eö

 

Х = ~ а У Чс=°'>

 

K : " auJ>2

 

2a)

Ж

 

 

-

 

движение

ускоренное.

 

При t =

со

 

о с - 0

j

 

ctp^aa);

Wx = 0 -

 

 

 

2.

Движение

точки по окружности

 

Рассмотрим

рис. 56,

 

где

#

-

радиус окружности;

x=Rcoscp ;

- уравнения движения;

y - R s i n фі

P =p C t) - закон движения

6 6

Смотрите также файлы