ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.07.2024
Просмотров: 130
Скачиваний: 1
Используя эти преобразования, мы введем сейчас в векторном пространстве алгебры s&o новый закон умно жения . А именно, произведение элементов х и у в но вом смысле определим формулой
ху = А-\х)аВ-1(у). |
(2) |
Полученную таким образом новую алгебру |
обозна |
чим s4. |
|
Написанное равенство в ы р а ж а е т новое умножение через старое. Но из него легко получить и выражение
старого умножения через новое: полагая |
|
Л " 1 (*) = «, B-l(y) |
= v, |
будем иметь |
|
А (а) В (v) = и о |
v. |
Таким образом, если принять алгебру s4 с операцией умножения uv за исходную, то д а н н а я нам с самого начала алгебра s&o будет получаться из нее заменой
умножения новым |
умножением и ° v |
по формуле |
||
|
|
и ° v = А (и) В (v). |
|
|
Чтобы |
завершить |
доказательство |
теоремы, |
теперь |
остается только показать, что алгебра S4- обладает еди |
||||
ницей. |
|
|
|
|
Проверим, что роль единицы в алгебре s4- играет |
||||
элемент |
е = е°е. |
В самом деле, рассмотрим |
два про |
|
изведения, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хе |
и |
еу. |
|
|
Д л я |
первого |
из них имеем |
- |
|
|
|
|
|
|
хе = |
|
А~1(х)°В-1(2). |
|
|
|
П о |
определению обратного |
преобразования, |
элемент |
||||
и = |
В~1(е) |
является |
(единственным) |
решением урав |
|||
нения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В(и) |
= |
е |
|
|
или, что то же, уравнения |
е°и |
= е°е; |
отсюда |
ясно (в |
|||
силу |
единственности), |
что |
этот |
элемент |
равен е. |
Д а л е е , |
|
v = |
Л - 1 (х) |
означает, |
что |
x |
= A(v), |
т. е. |
Vae—x. |
I l l
Учитывая |
это, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
. • |
хе |
= |
А'1 |
(х)° |
B~1(e) = |
v°e |
= |
x. |
|
|
|
|
Точно так |
ж е |
находим, |
что |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
~еу = |
А-\е)°В-х(у) |
|
= е°В-х(у) |
|
= |
у. |
|
||||
|
Этим |
мы |
показали, что |
е — единица |
алгебры зФ. Тео |
|||||||||
рема |
доказана |
полностью. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Итак, |
все без |
исключения |
нормированные |
алгебры |
|||||||||
могут |
быть получены |
из |
четырех |
известных |
алгебр |
2), |
||||||||
Ж, |
Q, |
О |
введением |
нового |
умножения |
по |
формуле |
(1). |
||||||
Д о |
известной |
степени этот |
факт |
можно |
рассматривать |
|||||||||
как |
способ описания |
всех |
нормированных |
алгебр. |
|
|||||||||
|
3°. Число п в тождестве (!) . В качестве одного из |
|||||||||||||
следствий теоремы мы получаем, что |
размерность |
лю |
||||||||||||
бой |
нормированной |
алгебры |
равна одному |
из чисел 1, |
||||||||||
2, 4, 8 (размерности алгебр действительных чисел, ком плексных чисел, кватернионов и октав соответственно).
Вспомним теперь, что существует определенная |
связь |
||||||
между нормированными алгебрами и тождествами |
вида |
||||||
|
Ж |
+ у \ + |
••• |
+ 4 9 |
- |
|
|
|
|
= |
Ф: + |
Ф 2 + |
. . . +Ф2а. |
(!) |
|
Это |
связь (см. § 17) |
заключается |
в том, |
что, |
взяв |
лю |
|
бую |
нормированную |
алгебру |
размерности п, |
выбрав в |
|||
ней произвольный ортонормированный базис и записав
закон |
умножения в этом базисе, получим |
п |
форм |
Ф\, Ф 2 , |
Ф п , удовлетворяющих тождеству |
(!); |
более |
того, таким путем могут быть получены все без |
исклю |
|||||||
чения |
тождества |
(!). Учитывая |
эту |
связь, мы |
делаем |
|||
следующее |
фундаментальное |
заключение. |
|
|||||
Число |
п в тождестве |
(!) |
может |
быть равно |
только |
|||
одному |
из |
четырех |
чисел: |
1, |
2, 4 |
и 8. |
|
|
4°. Обозрение всех тождеств (!). Конечно, из доказанной выше теоремы можно вывести нечто большее, нежели только заключение о числе квадратов в тождестве (!). В самом деле, зная способ построения любой нормированной алгебры, мы тем самым имеем некоторый способ дать описание всех тождеств (!). Покажем, что все такие тождества получаются следующим путем.
Для |
данного п, |
равного |
одному |
из |
чисел 2, |
4 или 8, нужно |
в соответствующей |
алгебре |
>Ж, • Q |
или |
О взять |
три ортонормиро- |
|
ванных |
базиса |
|
|
|
|
|
112
разложить произвольный вектор х по первому |
базису, |
произволь |
ный вектор у — по второму, а их'произведение |
— по третьему, т. е. |
|
записать |
|
|
|
* = 2 хаеа. |
у = 2 y$h' x t j ^ 2 Ф\Ч- |
|
||||||
|
а |
|
|
р |
|
у |
|
|
|
Тогда |
набор форм |
Фу(х\, |
х„; |
yt, |
уп) *) |
удовлетворяет |
|||
тождеству (!), причем |
таким путем может |
быть |
получено любое |
||||||
тождество (!). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чго указанный путь всегда приводит к формам, удовлетворяю |
|||||||||
щим (!), следует из равенства |
|
|
|
|
|
|
|||
|
( 2 ^ а ^ 2 ^ р ) = 2 Ф У г У |
|
|
||||||
Действительно, беря норму от обеих частей |
равенства, |
получаем |
|||||||
тождество (!). |
|
|
|
|
|
(!) |
может |
быть по |
|
Обратно, покажем, что любое тождество |
|||||||||
лучено |
указанным |
образом. Мы уже знаем, |
что любое |
тождество |
|||||
(!) получается, если рассмотреть закон |
умножения вида |
||||||||
|
|
|
х°у |
= А |
(х)В{у) |
|
|
|
|
(где А и В — ортогональные преобразования) и записать его в про извольном ортонормироваином базисе tj, h, ..., in. Другими сло вами, формы 4>i, Фг Фп, входящие в данное тождество, бе рутся из равенства
|
|
|
A J Ц х |
^ В ( 2 |
2^р) = |
2 |
° Y ' V |
(3) |
||
Но в силу |
линейности |
преобразований А и В имеем |
|
|||||||
А |
I 2 |
xaia\ |
= |
2 |
Х * А |
в ( 2 |
= |
2 Ур в |
Св)- |
|
|
\ |
а |
/ |
|
о |
|
\ Р |
/ |
Р |
|
Обозначая |
|
A (ia) |
через |
е а , а В (г'р) через fep, придем |
к следующей |
|||||
записи |
равенства (3): |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
( 2 |
^aea^2(/pfepJ=2°Y' V |
|
||||
Учитывая |
теперь, что каждый из наборов et, |
е*, . . . , е„ и kit ftj, ,. t |
||||||||
. . . , fen |
является ортонормнроваиным базисом, приходим к заклю |
|||||||||
чению, |
что набор |
форм |
Фь Фг, |
Фп получается |
так, как ука |
|||||
зано выше.
*) Чтобы фактически найти выражения для форм Ф^, нужно за писать
ХУ = ^ 2 *a«aj ^ 2 У&Ч)= 2 хаУ$еа.Ь$
и |
каждое произведение eafcp заменить |
его разложением по |
|
ii, |
k, |
in. |
|
|
б |
И. Л. Кантор, А. С. Солодовников |
113 |
Для более подготовленного читателя приведем то же самое
обозрение |
тождеств |
(!) |
в других |
терминах. При |
данном п = |
1, 2, |
|||
4, 8 |
нужно |
взять какой-либо одни |
определенный |
набор |
Ф>, Ф2 , . . . |
||||
. . . . |
Ф п |
н |
менять |
его |
следующим |
образом: переменные |
Xi, хг, ... |
||
|
л'„ |
в |
выражении для Ф| заменяются переменными х[,.к'2, |
хп, |
|||||
выражающимися через хг, хп с помощью некоторого ортогонального преобразования А; аналогичная операция про
изводится .над |
|
уи |
1/2, |
.-.., уп |
с помощью |
другого |
ортогонального |
|||||||||||
преобразования |
|
В. |
После |
этого |
получившийся |
набор |
форм |
|||||||||||
Ф;, Ф.', |
Ф„ |
|
подвергается третьему |
ортогональному |
преобразо |
|||||||||||||
ванию С. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
||
|
Условимся |
|
считать |
два |
тождества |
(!) |
эквивалентными, |
если |
||||||||||
одно из них получается из другого только |
что |
указанным |
спосо |
|||||||||||||||
бом. Тогда будет справедливо следующее предложение: при |
дан |
|||||||||||||||||
ном |
п = 1, 2, |
|
4, |
8 |
существует |
только |
одно, |
с |
точностью до |
экви |
||||||||
валентности, тождество |
(!). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
5°. |
Примеры |
|
нормированных |
алгебр |
|
размерностей |
|||||||||||
2 и 4 и связанных |
с ними тождеств ( I ) . Среди |
нормиро |
||||||||||||||||
ванных алгебр размерности 2 только одна, |
как мы |
зна |
||||||||||||||||
ем, |
обладает |
|
единицей; |
это — алгебра |
Ж |
комплексных |
||||||||||||
чисел. Учитывая, что переход к сопряженному |
комплекс |
|||||||||||||||||
ному |
числу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х —> X |
|
|
|
|
|
|
|
||
есть |
ортогональное |
преобразование |
алгебры |
Ж |
(ибо |
|||||||||||||
| ж | |
= |
| * | ) , мы |
можем |
построить еще. по |
крайней |
мере |
||||||||||||
три |
новых |
алгебры. Д л я |
этого |
обычное |
умножение ху |
|||||||||||||
комплексных |
чисел |
заменяем новыми операциями |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
х®у |
= |
ху, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
х[ф |
у = |
ху, |
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х®у |
= |
ху. |
|
|
|
|
|
|
||
Получаются |
|
|
три |
новых |
нормированных |
|
алгебры |
Ж\, |
||||||||||
М 2, |
М з. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В качестве полезного упражнения предлагаем чита |
|||||||||||||||||
телю |
доказать, |
что |
л ю б а я |
нормированная |
алгебра |
раз |
||||||||||||
мерности 2 |
изоморфна одной |
из |
алгебр |
Ж, |
Жи |
Ж2, |
Ж3, |
|||||||||||
причем среди этих четырех алгебр никакие две не изо
морфны. |
|
|
|
|
|
|
|
Приведем |
теперь примеры |
тождеств |
(!), |
связанных |
|||
с только |
что описанным^ |
алгебрами . |
|
|
|||
Д л я |
алгебры Ж\ в базисе \\ |
i имеем |
|
|
|||
* Ф У = |
~ху = |
(*i — x2i) (ух |
+ |
y2i) |
= |
|
|
114 |
|
|
= |
(Х1У1 + х2у2) |
+ (хху2 |
— х2ух) i, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поэтому |
соответствующее тождество |
будет |
|
|
||||||
(*? + |
4 ) {У\ + |
Уг) = {Х\У\ |
+ Л ' 2 У 2 ) 2 |
+ |
- |
4J if- |
|
|||
Оно, как видим, |
несколько |
отличается от уж е знакомого |
||||||||
нам тождества |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(*? + |
4) |
(У\ |
+ |
Уа) = {Х\У1 |
— Х2У2У |
+ |
|
{Х[У2 + |
х2Уд2' |
W |
отвечающего |
в том ж е базисе 1, i |
|
алгебре |
Ж. |
|
|||||
Тождество, |
более отличающееся |
от (5), можно |
полу |
|||||||
чить, приняв |
в |
качестве исходной |
алгебру |
Ж, и выбрав |
||||||
в ней за базисные векторы |
элементы |
|
|
|
||||||
Нетрудно проверить, что эти два элемента образуют ортонормированный базис. Запишем в этом базисе закон умножения:
(«,е, + и2е2) |
( и ^ , + |
v2e2) |
= |
|
|
|
|
|
|
|||
|
= T 7 ^ ( " i y 2 + vxti2 + |
|
— u2v2)el-\- |
|
|
|||||||
|
|
1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ' - p = - ( « i 0 2 + Oi«2 — |
|
+ |
u2v2)e2. |
|||
Соответствующее |
тождество будет |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
[^7= («i»2 + »i«2 — MiO, + |
W2 f2 ) |
|||||
Обратимся |
к |
нормированным |
алгебрам |
размерно |
||||||||
сти 4. В этом |
случае |
единственная |
алгебра |
с |
единицей— |
|||||||
это, |
как мы |
знаем, |
алгебра |
Q кватернионов. Так же, |
||||||||
как в случае комплексных чисел, операция |
|
сопряжения |
||||||||||
есть ортогональное преобразование алгебры Q. Поэтому |
||||||||||||
существует |
еще |
по |
|
крайней |
мере три |
нормирован |
||||||
ных |
алгебры |
размерности 4 — Qx, |
Q2, Qz с |
умножением, |
||||||||
определенным |
по формулам (4). Однако |
в |
четырехмер |
|||||||||
ном |
случае |
существуют еще и другие |
нормированные |
|||||||||
5* |
115 |