Файл: Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа.pdf

тор е, ортогональный ЗУ. Рассмотрим тогда

подалгебру

Ж' — ЗУ + ЗУе- Она является удвоением ЗУ

и, следова­

гональный Ж. Рассмотрим тогда

подалгебру Q = Ж+

-\-Же',

являющуюся удвоением Ж. Она изоморфна ал­

гебре

кватернионов. Из данной

выше характеристики

Если

подалгебра

Q

не

совпадает

со

всей алгеброй

зФ, то снова выберем единичный вектор е",

ортогональ­

ный Q, и рассмотрим подалгебру

О =

QJrQe">

являю­

щуюся удвоением Q и, следовательно, изоморфную ал­

гебре

октав

(§

6).

Оказывается,

эта

подалгебра

уже

обязательно

совпадает

с

зФ, ибо,

как

мы

д о к а ж е м ,

лю­

бая

подалгебра,

с о д е р ж а щ а я

1 и не

совпадающая

со

всей

алгеброй

зФ, ассоциативна.

Поскольку

умножение

октав не ассоциативно, подалгебра О

обязана

совпа­

дать со всей алгеброй зФ\

Подводя итог сказанному выше, мы . получаем, что

если алгебра зФ не изоморфна одной

из

алгебр

ЗУ,

Ж

или Q, то она изоморфна алгебре О. Но это и есть

утверждение

теоремы.

Итак,

теорема

будет

доказана,

если

мы

проверим

справедливость

утверждений

I)

и

I I ) ,

а

также

докажем

утверждение

I I I ) : любая

подалгебра

41,

содержащая

1

и не

совпадающая

со всей

алгеброй

s4-,

ассоциативна.

3°. Д в е леммы. Предварительно нам

понадобятся

две

чале с их формулировками, оставив доказательства

для

«второго чтения».

Л е м м а

1. В

любой

нормированной

алгебре

si

справедливо

тождество

(а,&„

а2Ь2)

+ (a,6g ,

a2b{) = 2 («„ а2)

(&.„ Ь2).

. (4)

Если

теперь

предположить,

что

формула

(6)

справед­

лива для вектора 6, то получим

(аЬ')

Ъ' =

k2a

-|- (66)

а = [k1

+

(6, 6)] а =

(6',

6')

а *),

т. е.

получим,

что

формула

(6)

справедлива

для

век­

тора

6'.

Итак, будем доказывать тождество (6) в предпо­

ложении, что

6 _L 1

(или, что то ж е самое,. 6 =

—6).

Д л я

сокращения

дальнейших

записей

обозначим

число (6, 6)

через

X.

Рассмотрим

элемент

с =

(аЪ) 6 — Ха.

Мы должны

показать,

что с — О или,

чтото

ж е

самое,

(с,

с)

=

0.

В

силу

свойств

скалярного

произведения

имеем

(с,

с) =

((а,

6) 6, (аЪ) Ь) +

X2 (а,

а)

-

2Х {(аЬ)

6,

с).

(7)

П р а в а я

часть состоит

из

трех

слагаемых. Первое

из

них

легко

упрощается с помощью основного тождества

(1):

((сб)6,

(а6)6) = (аб, аЬ)(6,

6) =

(а, а)(6,

б)2 =

X2(а, а).

Д л я

упрощения

третьего

слагаемого

воспользуемся

тождеством (4). Предварительно запишем это

тожде­

ство

в

виде

(а,6,,

а2 62 ) =

2 (а„

с2 ) (6,,

6,) — (а,62 ,

а2 6,).

П о л а г а я

здесь

а, =

а6,

6j =

6,

а2

— а,

6 2 = 1 ,

будем

иметь

((аб) 6, а) =

2 (аЬ, а) (6,

1) -

(аб,

об),

но первое слагаемое правой части равно

нулю

вслед­

ствие

6 ± 1,

а

второе

равно

— (аб, аб) =

(аб, аб) =

(а, а) (б, 6) =

X (а,

а).

*)

Из

равенства V

=

61 +

6

имеем

(6',

6')

=

ft2О.

1)

+ (Ь, *>);

далее

нужно учесть, что (I, 1) =

1,

как

легко

следует

из основного

тождества

(1)

при а =

b =

1,

О к о н ч а т е л ь но п о л у ч а е м .

((ab) Ь,

а) =

Л(а,

а).

В о з в р а щ а я с ь

к

равенству (7), м о ж е м теперь

з а п и с а т ь

(с, с) =

Я,2

(а, а) +

X2 (а,

а) -

2Х2 (а, а)

=

О,

что и требовалось

доказать .

С л е д с т в и е

л е м м ы

2.

Из

тождества

(6) мы вы­

ведем сейчас другое тождество, которое

в

дальнейших

рассуждениях

сыграет очень в а ж н у ю

роль.

Подставим

ег(6) вместо

Ь

сумму

х

у.

Получим

(а(х

+ у))(х + у)

=

(х + у,

х

+

у)

а

или

= (дс, х)а

+(у, у)

а+ 2 (х,

у)а.

Но в силу того ж е тождества (6)

первое

и второе

сла­

второму слагаемым

правой части, следовательно,

(ах)у

+ (ау)~х = 2(ху)а.

(8)

Это и есть требуемое тождество.

Из тождества (6) при а = 1 получается

(аЬ)

6 =

а (66);

отсюда тотчас

следует

(а6)6 =

а(66).

Аналогичными

рассуждениями

можсо

получить формулу

Ь (6а) =

(66)

а.

П р е ж д е всего

установим,

что

подпространства

°11

и °Ue

ортогональны

друг

другу,

т. е. что U\Lu2e

для

лю­

бых двух элементов

U\ ^.°U,

и2(=

Щ.

Д л я

этого

воспользуемся

леммой 1. Если

в тожде ­

стве (4)

взять

а{ =

ии

Ь{

— и2,

а2

= е, Ь2=1,

то

получим

(«,«,, е ) + ' ( « , ,

и2 е) = 2(и,,

е)(и2,

1).

Теперь нужно учесть, что °U

есть подалгебра и, зна­

чит, щи2

принадлежит

01.

Итак,

«i -L е,

UiH2

-L е

;

по­

этому

из

написанного

выше

равенства

следует

(u,,u2 e) =

0,

т. е. « 1 J- и2е.

Таким

образом,

подпространства

°U

и

'Ue

ортогональны.

представление

Отсюда легко следует утверждение I ) :

любого

элемента

из

cU-\-°Ue

в

виде

их

-4- и2е

возможно

лишь

единственным

образом.

В

самом

деле, пусть

ц, +

и2 е =

и\ +

и'2е.

Тогда

« i - B i = K - " 2 ) e

и, значит,

элемент

v^Uy

— щ

принадлежит

одновре­

менно

подпространствам

Ш

и

<Ые. Но,

по

доказанному

следовательно,

(v, v)

— 0 и

тем

самым v — 0.

Это

дает

и, — ы{ = 0

и

(1*2 — и.2) е =

0.

Д а л е е ,

легко

видеть, что

в силу основного тождества (1)

из ab = 0 следует

с =

0 или

& =

0.

В

данном

случае

произведение

(и'2 — и2) е

равно

0,

и

поскольку

е Ф

0,

д о л ж н о

быть

и'.2 — « 2 =

0. И т а к ,

=

и2=±и'2,

и

утверждение

I)

доказано .

Перейдем

к

доказательству

утверждения

I I ) .

Н а м

нужно

проверить справедливость

формулы (3).

С

этой

целью д о к а ж е м ,

что

для любых

двух

элементов

и . и

о

из подалгебры Щ имеют

место

формулы

(ие) v =

(uv)

е,

(а)

и

(ve)

=

(vu)

е,

(Р)

(ие)

(ve)

=

— vu.

(у)