Файл: Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа.pdf

(а, +

и2е)

(t>,

- j -

v2e) =

и,г>,

+ (и2е)

(v2e)

- f (ще) и,

- j - и,- (v2e)

и если последние три слагаемых

правой

части

преобра­

зовать по

формулам

(а),

(Р),

(у),

то получим

. (и, +

и2 е) (vi +

f2 e) =

( и ^ ,

— г>2и2) - f (f2 a, +

и2г>,) е,

т. е. формулу

(3).

(Р),

Д л я

доказательства

(a),

(у)

будем

ИСХОДИТЬ

ИЗ доказанного

ранее тождества

(8):

(ах)у

+ (ау)х

=

2(х,

у) а.

(8)

П о л а г а я

в этом тождестве

а =

и,

х =

е,

y —

v

и учитывая,

что v

1

е, будем

иметь

(ue)v

+

(иг;) е =

0.

Если

учесть, что

е =

—е

(ибо

е 1

1),

то

получаем фор­

мулу ( а ) .

Чтобы

доказать

(Р),

положим

в

тождестве

(8)

а—\,

х — и,

y —

ve.

Учитывая,

что

ve

—

— ve

(ибо

veA,°U

и,

значит,

f e l l ) ,

получим

_

и (ve)

— (ve)

и =

0;

если

теперь

воспользоваться

уже

доказанной

формулой

( а ) ,

то будем

иметь'

Д л я

вывода формулы (у)

воспользуемся

следующим

очевидным замечанием: если эта формула

справедлива

при

v =

с и при v = d, то она справедлива

и

при v =

=

с -\-d.

Поскольку каждый

элемент v можно

предста­

пропорционально

1,

а другое

ортогонально

1, то

из сде­

ланного выше замечания ясно, что формулу

(у)

доста­

точно доказать для

двух случаев: когда v

=

k\

и когда

o i l . .

Если v = k\,

то

формула

(у) принимает

вид

k(ue)e—

— ku;

тождества

(6).

_

Пусть

v _L 1

(и,

следовательно,

v

=

—v). П о л а г а я

в тождестве

(8)

будем иметь

а =

и,

х =

е,

_

у =

—

ve,

(ие) (ve)

—

(и (ve))

е = — 2 (е,

ve) и.

Но

в ы р а ж е н и е

(е, ve)

в силу тождества (5) равно

(1,г;)(е, е), т. е. равно нулю.

Д а л е е ,

в

силу

(р)

второе

слагаемое

левой

части

равно — ((vu)

е) е =

— vu

=

vu.

Отсюда

(ие) (ve)

_

=

—

vu,

что и требовалось получить. Итак, все три формулы

(а),

(Р),

(у),

а вместе

с

ними и

утверждение I I )

доказаны .

Чтобы завершить доказательство теоремы, мам оста­

лось

сделать

последний

шаг:

показать,

что

(утвержде­

ние

I I I ) )

любая

подалгебра

Щ

алгебры

s&,

содержащая

1

и

не совпадающая

со

всей

алгеброй

ассоциативна,

т.

е.

(uv)

w =

u

(vw)

для любых трех элементов и,

v, w из

°U.

(8).

Д л я этой

цели

воспользуемся

снова

тождеством

П о л а г а я

в нем

_

_

a — ve,

x =

w,

у =

ие,

будем иметь

_

_

((tie) w) (— ие) -f- ((ve)

(ие))

w

= О

или,

если

применить

формулы

(а),

(у),

и (vw)

— (uv)

w =

0.

Доказательство теоремы Гурвица теперь полностью

завершено.

§

18. Способ

построения

любой

нормированной алгебры

П р е ж д е

всего укажем один специальный

прием, с по­

мощью

которого мо:кно, исходя из данной

нормирован­

Пусть А

и

В — два

ортогональных

преобразования

в si

(т. е. два

преобразования, сохраняющих норму

лю­

бого

элемента

x e r f ) .

Определим

в

векторном

про­

странстве алгебры ^

новое

умножение — будем

обозна­

чать его с помощью

значка

« ° » — по

формуле

и о у =

А (и) В (t>).

(1)

К а к

видно

из этого

определения,

дл я

того,

чтобы

получить произведение элементов и и v

в новом

смысле,

следует взять вместо и и v элементы

А (и)

и

B(v)

и

перемножить

их в старом

смысле.

Нетрудно убедиться, что дл я новой

операции

спра­

ведливы

такие

соотношения:

и

И о (»!

+

V2)

= U <s'Vt -f-

U о » 2 ,

U ° kV

= k

{и о

v)

(«] +

u 2

) 0 v

— и, ° v

-+- и 2 о v ,

ku°v

=

k(u°v);

операция

« ° »

действительно

является

умножением

(см. 7° § 7 ) .

Векторное пространство алгебры . .5$, снабженное но­

вой

операцией

умножения,

обозначим

sio.

Таким

обра-,

зом,

si

и sio — это одно и

то

ж е векторное простран­

ство, но снабженное различными операциями

умно­

жения.

si по условию

В

алгебре

задано

скалярное

произ­

ведение

(х, у).

Оказывается,

что по отношению к

этому