Файл: Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 25.07.2024

Просмотров: 109

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

этот

кватернион — чисто

м н и м ы й * ) .

Таким

образом,

кватернионы

Ы + cj +

dk,

и

 

только

они,

могут

быть

охарактеризованы условием, что их квадраты

представ­

ляют

собой действительные

числа

^ 0 . Учитывая

это,

можно дать другое описание операции сопряжения:

для

произвольного

кватерниона

q

 

берется

его

 

единственное

представление

в

виде

а +

q',

где q' —

кватернион,

квад­

рат

которого

есть действительное

 

число

^ 0 ,

тогда

q —

a — q'. Это

замечание

нам

пригодится

впоследствии

в §

17.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Непосредственная

проверка

показывает,

что опера­

ция

сопряжения

обладает

такими

свойствами:

 

 

 

 

<7t + Яг =

Я\ +

<7з

 

 

 

( 9 )

(сопряженное

к

сумме

равно

сумме сопряженных)

и

(сопряженное к произведению равно произведению со­ пряженных, взятых в обратном порядке) . Такие ж е ра­ венства, как помнит читатель, справедливы и в случае комплексных чисел; нужно только иметь в виду, что д л я

комплексных чисел вместо z2Z\

можно

писать

z\Z2

(ибо

произведение

не зависит

от порядка сомножителей),

в

то время как д л я кватернионов, вообще говоря,

Ц2Ц\

не

равно q~\q2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы

убедиться

 

в

справедливости

 

равенства

(10),

достаточно

проверить

его

д л я

каждого

из

случаев,

ког­

д а вместо

цх

и q2

берутся

i, j ,

k. Проверка легко осуще­

ствляется

с

помощью

таблицы

(2).

Например,

 

 

 

и =

— 1 =

— 1,

но

и

и =

(— /) (— i) =

i2

=

— 1,

 

ij =

k —

— k,

 

но

и

/£ =

(— / ) ( — i) — jl=

—

k

 

и т.

д.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5°.

Выполнимость

 

деления

в

системе

кватернионов.

П р е ж д е

всего

обратим

внимание

на

существенное

от­

личие в самой постановке вопросов о

делении

кватер­

нионов

и делении "комплексных

чисел. Д л я

комплексных

*)

Действительно,

для

кватерниона q =

а +

Ы +

с) +

dk

имеем

q* == (а

+

q') (а + q')

= а2 + q'2

+ Чац' =

а2

-

Ь2

-

с 2

-

d2

+

2aq'.

Если

это

выражение

является

действительным

числом

и а ф

0,

то

q' =

0;

но тогда

q =

а

и,

следовательно,

qz

не

может быть ^ 0 .

20

чисел, как

помнит

читатель,

частным от деления

z\ на

z2 называется решение уравнения z2x

=

z\.

Но

д л я

ква­

тернионов

произведение зависит

от

порядка

сомножи­

телей,, поэтому

вместо

одного

уравнения

нужно

рассмат­

ривать

два:

 

 

q2x =

qi

 

 

 

 

 

 

(11)

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xq2 = q{.

 

 

 

 

 

.

(1Г)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соответственно этому решение первого - уравнения

бу­

дем

называть

левым

частным

от деления

q\ на q2 и

обо­

значать

хл,

а

решение

второго — правым

частным

ха

(в

случае

комплексных

чисел оба частных,

очевидно,

сов­

п а д а ю т ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы

решить уравнения

(11)

и

(11'). применим

тот

ж е

самый

прием, что и в случае

комплексных

чисел.

Умножим

обе

части

уравнения

(11)

слева

сначала

на

q2,

а затем

на

, 1 ,г

.

Получим

 

 

 

 

 

 

 

Непосредственной подстановкой в уравнение (11) убеж ­ даемся, что это выражение действительно является ре­ шением. Таким образом,

_ 1 _

Аналогично

находится хп:

 

 

_

1

• В качестве примера

найдем левые и правые частные

от деления k

на 1 + i +

k:

 

* л = | ( 1 - * - £ ) & = у ( £ + / + 1 ) ,

Итак,

мы

установили

два наиболее в а ж н ы х свойства

системы

кватернионов:

 

1)для умножения кватернионов справедлив сочета­ тельный закон;

2)кватернионы — система с делением.

21

 

6°. Модуль

произведения.

Ещ е

одно в а ж н о е . с в о й ­

ство

кватернионов

состоит

в том, что модуль

 

произве­

дения

равен произведению

модулей.

Доказательство в

точности такое

же, как и в

случае

комплексных

чисел;

в нем используется

формула q\q% — q~2q\ и свойство со­

четательности

дл я

умножения

кватернионов.

Вот это

доказательство:

 

 

 

 

 

 

kit e

Р =?= (tete) (<7ite) = (tfite) Ш\)

= 7i (tete) <7i =

k i

PI te P-

7°. Тождество для четырех квадратов. Общая поста­ новка задачи о сумме квадратов. Полученное нами ра­ венство

k . te P = k , PlteP.

(12)

если записать его подробно, приводит к интересному тождеству. Пусть

qt = а + Ы + cj - j - dk, q2 = а' -\- b'i + c'j - f d'k-,

тогда <7i<72 есть выражение, стоящее в правой части ра­ венства (3). Следовательно, формула (12), читаемая справа налево, принимает вид

(а2 + Ь2 + с 2 + d2 ) {а'2 + Ъ'2 + с'2 + d'2 ) =

= {аа' - Ьй' - сс' - dd')2 + И ' + Ьа'-+ cd' — dc'f +

+ {ас' + с о 7 +

db' — bd'f

+ (ad' + da' + be' -

 

cb'f.

(13)

Напомним,

что в

случае

комплексных чисел

равен­

ство

| z 1 2 2 | 2 =

| г ] | 2 j z 2 | 2

привело

нас

к

аналогичному

тождеству

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( а 2 + Ь2) (а'2

+ Ь'2) =

{аа' - bb'f

+

{ab' +

ba'f,

(14)

которому мы д а л и такое истолкование:

произведение

суммы двух квадратов на сумму

двух

квадратов есть

снова сумма двух квадратов . Аналогичное

истолкование

допускает,

очевидно,

и

тождество

(13):

 

произведение

суммы

четырех

 

квадратов

на

сумму

 

четырех

квадратов

есть снова

сумма

четырех

квадратов.

 

 

 

 

 

Отвлекаясь от комплексных чисел и кватернионов,

естественно

поставить

теперь

такой

вопрос: дл я

каких

п найдется

тождество

«произведение

суммы

п квадра ­

тов на сумму п квадратов равно сумме п квадратов»? При п — 1 решение приходит сразу; • ,

22

ио

это слишком просто.

При п = 2 и п = 4

ответ, как

мы

видим,

т о ж е является

положительным — это заранее

совсем не

очевидно! А

как обстоит

дело

с]п

= 3?

С п = 5, б и т. д.? Ка к уж е отмечалось,

этот вопрос

дол­

гое время не получал окончательного решения. Исчер­

пывающий

ответ

был получен

в 1898 г.

немецким ма­

тематиком А. Гурвицем, который доказал

удивительную

теорему: тождества

интересующего

нас типа

возможны

только

при

п—1,

2, 4, 8 и невозможны

ни при каких

других

п.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы

у

читателя

не оставалось

никакой

неясности

в постановке «задачи о сумме квадратов»,

сформули­

руем ее сейчас более точно.

 

 

 

 

Пусть

аи

а2,

 

а„

и bu

Ь2,

Ьп

— два ряда

букв. Назовем формой

второй

степени от этих

букв лю ­

бую сумму, слагаемые которой устроены следующим об­ разом: каждое из них есть произведение одной из букв первого ряда на одну из букв второго, взятое с числен­

ным

множителем. Например, выражение

 

 

 

 

 

 

а,6, + 8a{b2 — 2а3Ь5 +

За3Ьп

 

 

 

есть

форма второй

степени. Точная

постановка

«задачи

о сумме квадратов» состоит в

следующем. Требуется

ответить:

каким

должно

быть

число

п и

как

долоюны

быть

выбраны

п

форм

второй

степени — обозначим

их

для

краткости

Ф ь

Ф 2 , . . . , Ф„ — для

того,

чтобы

было

справедливо

тождество

 

 

 

 

 

 

{а\+а\+

. . .

+«*)(*?

+

*! + .--.

+^)-=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

ф 2 +

ф 2 +

. . . + ф

2 .

( , )

Обнаруженные

нами

ранее тождества дл я комплекс­

ных чисел и кватернионов, очевидно, были именно та­

кого типа. Д л я комплексных

 

чисел:

 

 

 

 

(а\ + a2) (b2 + bj) = {afi{

-

a2b2f

+ {afi2

+

a^f

и дл я кватернионов:

 

 

 

 

 

 

 

(a2

+ at + al + a*) (b2

+ b\ + b\ + b2)

=

 

 

=

(a,6, — a2b2 — a3b3

—

афл)2

+

(ахЬ2 +

a2b{ + a3 64

— a4 63 )2 +

+

(a,63 + a3bi + аф2

—

a2bAf

+

(a,u4 +

a4bx +

a2b3

— a3b2f

(в соответствии с общей постановкой задачи мы изме­ нили обозначения в тождествах (13) и (14)).

23

В § б на базе еще одной системы чисел (так назы­ ваемых октав) мы построим тождество (!) дл я /г = 8. Таким образом, перечень значений п в тождестве (!) включает числа 1, 2, 4, 8. Упомянутая выше теорема Гурвица, утверждающая , что другие значения п невоз­ можны, будет доказан а в гл. 3 после того, как мы озна­ комимся со всеми необходимыми для этого фактами .

§ 4. Кватернионы и векторная алгебра

Открытие кватернионов в середине XIX века дало толчок раз­ нообразным исследованиям в области математики и физики. В част­ ности, благодаря кватернионам возникла чрезвычайно плодотворная область математики — векторная алгебра. О связи, которая суще­ ствует между исчислением кватернионов и операциями над вектора­ ми в трехмерном, пространстве, мы расскажем в этом параграфе.

1°. Числовая и векторная части кватерниона. Напомним чита­ телю некоторые положения, известные из геометрии. Если ввести в обычном пространстве прямоугольную систему координат и обо­ значить через i, j, k векторы дли­ ны 1, выходящие из начала коор­ динат и направленные, вдоль коор­ динатных осей (рис. 2), то любая

сумма вида

 

Ы + с) + dk,

 

где

6, с, d — действительные чис­

ла,

будет представлять

собой не­

который вектор. Этот вектор идет

из

начала координат

О в точку М

с координатами Ь, с, d.

 

 

Возвращаясь к кватернионам,

заметим, что каждый

кватерниои

Рис. 2.

q = а + Ы + с] + dk

 

представляет собой формально сумму действительного

числа а

с вектором Ы + с/ + dk. Число а мы будем называть числовой (или

действительной) частью, а выражение Ы + cj + dk — векторной (или

мнилюй) частью кватерниона'^.

Рассмотрим теперь два чисто векторных кватерниона

 

qi=^ bii + ей + dik и

q2 — b2i + c2j + d2k.

 

Перемножая их по правилу умножения кватернионов, будем

иметь

<7i?2 = — (&i&2 + С1С2 + d{d2)

+ {cid2 — d{c2)

i+

 

+

(d1b2

— 6,d2 ) j +

(b,c2 — Cibo) k.

(1)

Выпишем по отдельности

числовую и векторную части кватер­

ниона <7i<72-

 

 

 

 

Числ. часть <7i</2

= — {b\b2 + С\С2 + dtd2).

(2)

Вект, часть qtq2

= {cid2 — d,cj>) / +

 

+

(d,62

— & A ) i +

( й 1 с з — с 1 ь г ) k.

(3)

24

Смотрите также файлы