Файл: Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 25.07.2024

Просмотров: 112

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

a v2 пропорционален р. Тогда

 

 

 

 

 

 

qvq~l =qvxq-y

+ qv2q~l

=

<7t',<7~1 + v2.

 

 

Отсюда

видно, что составляющая

и,

поворачивается

на угол 2<р

вокруг

р, а составляющая v2 остается

неизменной. В итоге

весь

век гор v поворачивается вокруг оси р на угол 2ср.

 

 

Таким образом, мы доказали,

что при повороте

вокруг

оси р

на угол

2ср произвольный

вектор v

переходит в qvq-*, где

 

q = cos ф + р sin ф.

Учитывая это, мы скажем, что указанный поворот соответствует кватерниону q.

6° Задача о «сложении» поворотов. Еще раньше мы обещали проиллюстрировать применение кватернионов па примере трудной задачи из геометрии. Сделаем это теперь. Задача, о которой будет идти речь, носит название задачи о сложении поворотов (в про­ странстве).

Пусть производится поворот на угол

2ф| вокруг некоторой оси,

характеризуемой

единичным вектором р\\

следом

за ним пусть про­

изводится другой

поворот—на угол 2ф2

вокруг

оси, характеризуе­

мой единичным вектором р*. В итоге получим некоторый новый поворот (результат последовательного выполнения двух данных). Спрашивается, как найти ось и угол результирующего поворота?

При первом повороте произвольный вектор v перейдет, как мы

знаем, в и, = q^qj',

где q\ = cos ф1 + рЛ sin q>i. При втором по­

вороте vt

перейдет в

 

(заметим,

что (<72 д,)~'

равно q~lq2~\ так как (<72<7i) (^Г'^Г') = О"

В итоге последовательного выполнения двух поворотов вектор v перейдет в

 

«2 = (<Mi) v (q2q\)~l.

 

 

Таким образом, в результате последовательного

выполнения

двух поворотов,

соответствующих кватернионам

qt и q% получается

третий поворот,

соответствующий кватерниону

q2qt.

 

Вычислить кватернион q2q\ не составляет

труда — ведь прави­

ло умножения кватернионов известно. Найдя q2qu представим этот кватернион в виде

 

92<7i =

cos -ф Ч- р sin -ф,

 

(5)

где р — вектор длины

1. Тогда

результирующий

поворот есть

пово­

рот вокруг оси р на

угол 2г|). Как видим, ответ получился

с по­

мощью кватернионов весьма просто!

 

 

Рассмотрим пример. Пусть

первый поворот

совершается

вокруг

оси х на угол —, а второй — вокруг оси у на тот же угол. Первому

л ,

. . п 1^2 ,, , ..

повороту отвечает кватернион qi = cos— +

/ sin -т —1-^- (1 + О»

30

1^2"

а второму — кватернион q2 = —g- (1 + /)• В данном случае

Чтобы представить этот кватернион в виде (5), заметим, что дей­ ствительная часть его равна — =cos-^-. Исходя из этого, запишем

 

 

= cos — +

- r L r (i + } —k)

sin—:

 

 

 

3 •

Ll^3

3

 

. таким образом, результирующее вращение

происходит

вокруг

вектора

р —

(г + 1 — к) на угол —.

 

 

 

 

у 3

3

 

 

§ 5. Гиперкомплексные

числа

 

 

1°.

Определение гиперкомплексной

системы

чисел.

Р а с с м о т

р е н н ые нами комплексные, двойные, дуальные

числа

и

кватернионы

охватываются более общим поня­

тием

гиперкЬмплексной

(сверхкомплексной)

системы

чисел.

Теперь, когда

мы знаем наиболее простые при­

меры таких систем, нам -будет легче понять общее опре­

деление гиперкомплексной системы чисел.

 

Зафиксируем

натуральное число п и рассмотрим вы­

р а ж е н и я

вида

 

 

 

 

 

 

 

«о +

+ <з2£2 + . . .

+anin,

 

(1)

где а0,

а ь й2 ,

ап

— произвольные

действительные

,числа, а ц, i2,

i n — некоторые символы (которые мы

будем

иногда называть «мнимыми

единицами») . П р е ж ­

де всего условимся, что равенство двух таких

выражений:"

а0

+

<Mi +

• • • +

aJn = b0.+

+

. . . +

bnin,

означает,

по определению, что

 

 

 

 

 

а0

— Ь0, а1 = Ьь . . а п = Ьп.

 

Д л я сокращенной записи выражений (1) будем поль­ зоваться полужирными латинскими буквами а, Ь, с, и,

31-

v, до, . . . , делая

исключение только для

выражений

вида

 

 

а „ + 0 « 1 + ( И 2 + . . .

+01п,

 

которые

иногда

будут

обозначаться

просто а0.

 

Н а д

выражениями

(1) мы будем

производить

дей­

ствия сложения, вычитания и умножения . Сложение и

вычитание определяются

формулами

 

 

 

( в о + « 1 * 1 +

••• + anQ

+

(b0 + b^i + . . .

+£„*„)

=

 

=

( а о + *>,,) + ( а , + &,)*,+ . . . +

( a „ + £„)*„,

(a0 +- a,£! +•

. . . +anin)

— (b0 + 6 ^ , + . . .

+6„<„)

=

 

=

(ao —6o) +

(oj — bi) t, + . . .

+

(a„ — 6„) i„,

а умножение

вводится

следующим образом .

 

 

З а д а е т с я

«таблица

умножения», т.

е.

указывается,

чему равны всевозможные произведения

 

 

 

*а'р>

где а и р — любые номера от 1 до п (всего таких про­ изведений имеется, очевидно, и X п = я 2 ) • К а ж д о е про­ изведение 1^3 должно представлять собой снова выра ­ жение вида (1), т. е.

 

М р =

Ро + Pih +

Рлк + ••• + Pain,

(2)

где ро,

Р\,

рп — некоторые

действительные

числа.

Л ю б о й

комбинации номеров а, р отвечает, конечно, свой

набор

коэффициентов р0,

Ри

• ••> Рп', чтобы

подчерк­

нуть зависимость этих коэффициентов от a, Р, мы за ­

пишем

pa (}, i вместо ри тогда

(2) заменится, быть

может,

более громоздким, но зато

охватывающим

сразу все слу­

чаи равенством

 

 

 

 

 

 

 

 

tatр =

Pap, 0 +

Pap, 1*1 +

Pap, 2*2

+ • • •

+

Pap, Jn-

(3)

Набор чисел pa p,V и задает собой таблицу

умножения

(всего

этих

чисел

д о л ж н о

быть

гс2(гс+1)

— по

f i + 1

числу дл я каждой комбинации a, Р).

 

 

 

Например, в случае комплексных чисел таблица ум­

ножения состоит из единственного

равенства

 

 

 

 

i . i =

— 1 + О*.

 

 

 

за

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вслучае кватернионов таблица содержит девять ра­

венств и может быть записана следующим образом:

 

 

 

 

 

i

3

ft

 

 

 

 

 

 

 

 

- 1

ft

—/

 

 

 

 

 

 

 

/

—ft-

—i

i

 

 

 

 

 

 

 

ft

 

i

—i

- 1

 

 

 

 

Понятно, что

к а ж д а я

клетка

заменяет

одно

из

равенств

(3) таблицы умножения: например,

 

 

 

 

 

 

t'.;

= fe =

0 +

0j +

0 / +

Ik.

 

 

 

После того

как

з а д а н а

таблица

умножения,

мы

опре­

деляем

произведение

 

 

 

 

 

 

 

 

(а0

+ а,*,

+ . . .

+ anin)

(b0 +

Ь{ц + . . .

+ bnin)

 

по обычному правилу умножения суммы на

сумму

( к а ж ­

дое слагаемое

первой,

суммы

у м н о ж а е м

на

к а ж д о е

ела?

гаемое второй и результаты суммируем), причем про­

изведения

вида ' (aaia)

• (b$i$)

переписываем

к а к

a a6p('ajfl) и

заменяем

по формуле (3); затем

при­

водим подобные члены. В итоге получается снова не­

которое выражение

вида

(1).

 

 

 

Множество всех в ы р а ж е н и й вида

(1), в

котором опе­

рации сложения и умножения введены

как

указано

выше,

'называется

гиперкомплексной

системой

размер­

ности

п -\- 1, а

сами выражения (1)

называются

гипер­

комплексными

^шелами.

К а к следует из

приведенного

выше

описания, гиперкомплексная система

д а н н о е раз ­

мерности полностью определяется своей таблицей умно­ жения .

 

Отметим некоторые свойства операции умножения,

справедливые

в любой

гиперкомплексной

системе.

 

1) Умножение действительного числа а, рассматри ­

ваемого к а к

гиперкомплексное число a +

Oij +

• • • + O'n,

на

произвольное

число

Ь0 -\- Ь\Ц J ^ . . . - j - bnin

сводится

2

И. Л. Кантор, А.

С. Солодовников

 

33

Смотрите также файлы