Файл: Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа.pdf

2°. Скалярное

произведение.

Каждое

из

выражений (2), (3)

имеет определенный геометрический смысл. Сумма b\b2 + ct c2

+ did2,

как

мы сейчас

покажем,

равна

|9i|Ifolcos ср,

т. е. произведению

длин

векторов

9i

и q2

(или, что то .же,

модулей кватернионов 9i

и <7г) на косинус

угла

между

ними. Такое

произведение

прихо­

дится

рассматривать

в

математике

ш

чрезвычайно

часто; оно

носит

специ­

альное

название

«скалярное произведе­

ние

векторов q\

и 92» (подчеркнем, что

скалярное произведение

есть число, а не

вектор) и обозначается обычно (91,92).

Таким образом, по определению,

мы же хотим доказать

формулу

(<7i. <fe) = М 2 +

cie2 + d,d2 . (4)

На рис. 3 изображен

треугольник,

У

построенный на векторах 91 и 92. Одна

р и с _ з_

его вершина находится в начале коор- -

дииат, две другие вершины — точки Mi

и Мг (концы векторов

91 .и 92), координаты которых равны соот-.

ветственно b\, си di и 62, с2 , d2. Имеем

OM] =

b\+c\+d\,

OM\ = bl+c\

+ dt,

^

ЩМ% » ( i , -

b2f + (С , - o2f

+ (dt

-

d2f,

откуда

MtM22 = ОМ2 + ОМ\ - 2-(b,6л + С ] с 2

+

dld2).

<fi на q2 равно нулю, значит,

cos ср =

0,

и

векторы qi, q2

перпен­

дикулярны. Стоит

еще заметить,

что в случае, когда

q\ и q2

пер­

пендикулярны,

(/|(?2

= — M i l

это сразу

же видно

из-формулы (1),

если учесть, что действительная

часть q^q2

равна нулю.

части

про­

3°.

Векторное

произведение. Что касается векторной

изведения 'tfiffo т. е. выражения,

стоящего

в

правой

части

равен­

ства (3), то установить

ее

геометрический

смысл

несколько

труд­

нее. Это выражение называют

векторным

произведением

вектора q\

на q2 п обозначают [qt, q2]:

[<7i. <7г] =

(с\йг

— d:c2)

i +

{йф2

— b[d2)

j +

{biC2

— cxb2)

k.

Оказывается,

вектор

[q\, q2]

перпендикулярен

каждому

из век­

торов

<7i и q2,

а

длина его равна

Iftlsin (р или, что то же, —

площади S параллелограмма, построенного на векторах qi

и q2.

Чтобы доказать перпендикулярность векторов [qt, q2] и q\, до­

статочно, как мы знаем,

проверить,

что действительная

часть

про­

изведения этих кватернионов равна нулю,

пли что их произведение

является «чистым» вектором. Но в силу

(1) и (4) имеем

[q\, qi\ =

= Я\Яг + (<h, q2),

поэтому

Я\ [Я\< Я2] =

Я\ {Я\Я2

+

(Я\> Я2)) =

Я\Я2 +

(Я\. Я2)Я\

=

=

— k i \2Яг +

{Яь

Я2)Я\*)-

Справа получилась сумма двух векторов, т. е. снова вектор.

Перпендикулярность

векторов

[<?i, q2]

и q2

доказывается

анало­

гично.

Найдем

теперь

длину

вектора

[qi, q2].

Квадрат

ее равен

(c,d2 — d,c2 )2

+

(d,62 — 6,d2 )2 +

(bic2

— c,62 )2

или (после тождественных

преобразований)

(b\ + с2 +

df) {b\ +

с] + 4)

- {b\b2

+ C | C 2

+

did2)2.

Последнее

выражение

есть

|<7i|2|<72|2—(<7i. 9г)2

«ли, если

вспо­

мнить определение скалярного произведения,

ki|2 k2 |2 -|<7il2 l<72|2 cos2 <p, т . е .

| ^7, I21 <7212

Итак,

квадрат

длины

вектора

[q\,q2]

равен

|<7i|2|<?2|2sin2(p,

т. е. S2 ,

что и требовалось

доказать.

Обнаруженные

нами

свойства

вектора

[qi, q2]:

перпендикуляр­

ность к <7i и q2, а также

равенство

его длины

S — еще не опреде­

ляют его полностью; такими свойствами обладают

ровно

два вза­

имно противоположных

вектора

(рис. 4). Какой

же

из

них есть

{<7ь q2]7

Последний

штрих,

завершающий

описание

вектора

[q\, q2],

заключается

в

следующем:

векторы qu

q2, [?ь q2]

ориентированы

в пространстве

подобно i, /, It.

*)

В процессе

вычислений

мы заменили

qy числом

— | ? i | 2

. Это

можно

сделать в силу

формулы (1): из этой формулы

следует

я\

= ~ {Ь\ + А

+

d])

+

Qi + 0/ + Ok = -1 q{

f.

q = а +

Ы + cj +

dk

— произвольный кватернион, модуль которого равен 1:

Запишем, что

a J + 62 + c2 + d 2 = l .

Я =

а +

д',

где q' есть вектор Ы +. с/ -f dk. Так как

|а2 |-|-|<7'|2 = 1,

го суще­

ствует такой угол <р, что

а = cos ф,

| q' | =

sin ф.

Очевидно, q'= \q'\p,

где р — вектор

длины 1. Следовательно,

q = cos ф +

р sin ф.

Еще раз подчеркнем,

что в таком виде

(где р — вектор

длины 1)

Итак, если

'р — какой-либо

вектор

длины

1, a v —

произвольный

вектор,

перпендикулярный

р,

то умножение

v

слева на

кватернион

q — cos ф +

р sin ф

осуществляет поворот вектора v вокруг

оси р на угол

ф.

До некоторой степени этот факт можно рассматривать как

геометрический

смысл

умножения

(слева)

на q;

разочаровывающим

моментом является то, что вектор

о

выби­

рается не произвольно, а только перпенди­

кулярно р.

5°. Представление

произвольного

пово­

рота в пространстве с помощью кватернио­

нов. Можно, оказывается,

записать

в ква-

терщшнной форме и поворот вокруг

оси р

любого

вектора

v, но только для этого при­

дется

усложнить

действия

над и: вместо

умножения на

q

слева потребуется

взять

более сложное

выражение

Рис. 6.

qvq-K

Здесь q~l обозначает кватернион,

обратный

q,

т. е.

такой, что

qq~L =

1. Легко видеть, что

поворотом

вокруг оси р на угол

(рис. 7). Обозначим его, как раньше, qv.

Итак,

qvq-

•• qv cos ф + qv sin ф.

Выражение, стоящее справа, представ-,

ляет собой вектор, полученный из qv

поворотом вокруг р на угол ф. Если

из

v

еще

учесть,

что сам вектор

qv получен

таким же поворотом, то

и. окажется, что qvq~l

получается

из v поворотом вокруг р на угол 2ф.

тор

Для того, чтобы рассмотреть общий случай, заметим: если век­

v

пропорционален р (т. е. v = Хр),

то, очевидно,

qv = vq и

qvq~l=vqq-1

=

v.