Файл: Гришин В.К. Статистические методы анализа результатов измерений учеб. пособие.pdf

обладает

свойствами

случайной

переменной с

t -распреде­

лением со

степенями

свободы

•£ ~ п. -

1 .

Используем теперь это свойство для вычисления дове­

рительных

границ в

оценке

генерального

среднего.

Для

заданного

уровня

значимости

£

имеем

P(tQ

<

і

<

i J

-

1 - є .

(ю.з)

Как

обычно,

полонии

Р

* 1 - Р

=

%

. Учитывая,

что кван-

тили

t

-распределения

связаны

соотношением t

= -І

,

Следовательно,

мы можем утверждать, что с вероятностью

Р = / - £

истинное

значение

генерального среднего п

ле ­

жит

в пределах

Г

J;

W

?

^

^

^

'

(10.5)

где

у

и ё

выборочные среднее

и среднее квадратич­

ное

отклонение,

а •

-

квантиль

берется при ,-'»=a-f .

Тем оаыын мы можем ответить

на вопрос, поставленный

ральной

дисперсии

о

вынуждает

нао расширить

границы до­

верительной области. Степень расширения характеризуется ве­

личиной

отношения

і.,

е.,

- квантили и

U Р,

-кван-

тили нормированного нормального распределения, которое тан

больше,

чем меньше

объем

выборки. Лишь при очень большом

объеме выборки,

когда

оценка

о

практически

совпадает о

генеральной дисперсией, не происходит

дополш тельного

увели­

чения доверительного интервала.

Значения

Ь1

Єу ~ квантилей

(называемых иногда

коэф­

фициентами Стьюдента)

для уровней

значимости . 6 =0,3 и

0,05

(верхние

значения

соответствуют

Є =0,3, нижние

-

Є

=0,05) указаны в таблицеX

Таблица Д.

I

.

2

!

г •

10

1

.

3

* Г 5

6 1

1 0 0

1

1,96

'1.34

1,25

1,19

1,16

1,13

1,09

1,04

*-*

12,71

4,30

3,18

2,78

2,57

2,45

2,23

1,96

При п.-*оо

£-

распределение

стреиитоя

к нормированному

нормальному,

квантили

которого

для

Є =0,3 и 0,05

прак­

тически

равны I

и 2. Очевидно, при

п £

10 квантнд..

t - распределения заметно превосходят эти значения.

Пример;

По выборке из трех измерений

2,

=0,9;

Д . 1,1;

^ = 1 , 0

оценим генеральное

среднее. Согласно

(10.5)

имеем (

^

»

-1,0;

Є

=0,1)

или

Г

?*

Ж*<-%я1>0±0'058'1'-Ч

f 1,0 + 0,078

при

£

=0,3

У = |_1,0 t 0,248

при

£

=0,05.

Такий

образом, "удвоенная средняя

квадратичная ошиб­

ка" (

Є =0,05)

более чем в два

раза

превосходит

соответ­

ствующее

значение

для генеральной

совокупности

с

точно из ­

вестной

дисперсией. При большем

объеме

выборки

расширении

доверительного

интервала

не столь

значительно.

З А Д А Ч И

1.

По данным

выборки

^ , у х ,

• - - , уп

найти

парные*

ры распределения

величины

("коспенны!'."

анализ ф ) .

Решение. При известном распределении

у

с

помощью

преобразования

нетрудно установить вид распределения

ЯР ,

а затем, используя принцип максимального правдоподобия, оце

нить среднее и дисперсию генеральной совокупности

ЯР .

Если распределения

у

и

ЯР

неизвестны,

но ножно

предполагать,

что распределение

ЯР

не ооладает

ярко вы­

раженной

асимметрией, vo можно

считать

его близким

к

нормаль

ному

и для оценок

использовать

результаты

этого

параграфа,

Решение. Если

Ф

является Функцией

многих случайных

(1) (г)

W

переменных у

t

у • '

' } У

« 1 0 анализ

параметров

распре­

деления

необходимо

производить

па основе

НОЕОЙ выборки 9^9^,...

-,.,Я^,

по формулам §§ 8 и 9,

где иод

Фг

следует

понимать

значение этой функции в каждой

точке ( ^

}

}

LJL , . . . ,

) .

В случае,

если

аналитический вид распределения ф как

где

€ к

-

оценка

дисперсий каждой из

переменных у

Для

вычисления

§jS

можно использовать

формулу ( 8 Л 5 )

значимости,

к эмпирическому

среднему

Ф не должно

превы­

шать

0,05.

Размах

интервала равен

Ф

, -

Ф »

Щ

(/-«.-•*),

где

ф

и

б^,

оцениваются из

(8 . 14 ) и (8 . 15 ) ш

выбор­

ке

= Ф(^4) •

Очевидно, при

п,

— ^ - о о интервал

оокра-