Файл: Гришин В.К. Статистические методы анализа результатов измерений учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 26.07.2024

Просмотров: 121

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 17. Сравнение средних при бедной

статистике

В экспериментальных исследованиях

подчас складывается

ситуация, когда число наблюдаемых событий невелико. Распре­ деление редких событий весьма существенно отличается от нор­ мального. Поэтому результаты серий наблюдений с бедной ста­ тистикой нельзя сравнивать, опираясь на критерии, рассмотрен­

ные в предыдущем разделе.

Мы предположим, что распределения исследуемых редких

событий являются пуассоновскими. Тогда сравнение параметров

изучаемых генеральных совокупностей можно провести о по­

мощью еле? ющего условного критерия.

Допустим, что в результате двух серий наблюдений было зафиксировано A/f и Nt событий соответственно. Если

средние

каждой

из

генеральной

совокупностей равны между со­

бой, т . е .

Ni

= Nz = N , то

вероятность

отметить

в

этих се­

риях

К1

и

К2

событий

равна

 

 

 

P(K<,«J=

P(Kt)f>(Kj=

{ N ) k ,

*

•

(І7.І)"

Введем в качестве новой величины оумму X * Kt + Кг

Согласно теореме сложения пуассоновских распределений наб­ людаемое значение X имеет вероятность

х /

Поэтому условная вероятность того, что ми зафиксируем /^событий в первой серии при общем числе событий равном X ,

описывается соотношением

 

'

*

Р(х)

І 2 /

к,!ка!

 

Проверяя

гипотегу

N1 = N£

при альтернативной гипоте­

зе

> N

, иы вычислим условную

вероятность

 

 

 

N

N

 

P(*,>.N\H*N.-H)-(i)

 

 

k I ( N ! K ) I

Если эта воронтность не превосходит избранного уровня зна­ чимости £ , то пр іеряемая гипотеза отвергается.

Можно показать, что соотношение (17.5) эквивалентно условию

P ( K ^ N l N ) , 1 - P ( V ' { f l , f , ) < 7 ^ r )

,

* (17.5)

где

Ф,= 2(Ыл+1);

W / V , .

Поскольку

то критической для исходной гипотезы является область

При двусторонней альтернативной гипотезе Є следует заменить на Є/2 .

Пример. Пр. чсследовании первичного компонента космиче­ ских лучей за сеанс было обнаружено 2 частицы с ультрареля­ тивистской энергией.В следующий с^анс прибор зарегистриро­

вал 7 частиц этого сорта. Есть ли повод для заключения, что

интенсивность космического потока не постоянна?

 

 

Согласно (17.6)

вычисляем

отношение

N1/(Ni

+ l)

=

=7/3=2,33. Так как

Voars^6;

^ =

3 , 5 0

> 2 ' 3 3 '

1 0

 

проверка с 5%-ныи уровнем значимости

не подтверждает

наае

сомнени^.

 

 

 

 

 

 

 

Если

проверка не указывает на значимое различие между

средними,

заключение

об истинном

значении

среднего ґ'аЩ

= Мг

делается

(см. § I I ) на основании

величины

^1/i-(N1->-Ni)/2-

Таким же образом, используя условный

критерий,

сравни­

ваются интенсивности пуассоновских потоков, когда измерения

характеристик потоков происходят в течение

различных ин­

тервалов времени.

 

 

 

 

 

 

 

Пусть в первом измерении пуассоновского потока

в те э -

ние времени

t i

зарегистрировано

N1

 

событий,

а во вто­

ром измерении за интервал времени

£ 4

отмечено

Nt

со ­

бытий.

 

 

 

 

 

 

 

 

Если интенсивности потоков равны VY

и

У»

• 1 0

вероятность

отметить за те же промежутки

времени

Kf

и Кг

событий равна

 

 

 

 

 

 

 

F(KtlKj*

 

„ І ^ І

Є

 

 

•

( П . ^

Повторяя далее процедуру построения условного критерия, находим вероятность

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

Р ^ ^ ^ 1 ^ Ч - ^ - ^ 7 ? ^ * ^ - ^

( 1 ? - 8 )

где

 

 

 

 

.

,

 

 

 

 

 

 

 

Для проверки

исходной

гипотезы ^ <

/ V l =

А 0

при альте -

нативной

гипотезе

^ / ^

> А

мы вычисляем

(17.8)

при

(Ао )

Если

оказывается, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р ( Ч *

NilN)\^*

е>

 

 

( 1 7 Л 0 )

 

то с уровнен

значимости

Є

исходная

гипотеза отвергается.

 

Как и в случае t =* t-r

квантили

соотношения

(17.10)

выражаются

через

квантили

 

V -распределения. Поэтому

 

критическое

для исходной

гипотезы областью будет

 

 

 

 

При сравнении с двухсторонней конкурирующей гипотезой

 

^/ti

Ф \9уровень

значимости

выбирается в два раза

 

меньше

 

значения

£ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так,

если в рассмотренном

примере время

первого

сеанса

 

в полтора раза превосходит время второго, то гипотеза о посто­

 

янстве интенсивностей космических потоков отпадает, так как

 

1,8 . 7/3 = 3,5 *

V*a?s(6;

ІМ).

 

 

 

З А Д А Ч А

 

 

Показать, что в случае

незначимого отличия

средних интен-

 

сивностей,т.е. і) »

її ш v ,

их оценка находится

как у)ж^*^і

.

1

*

і,* і.

§ 18. Анализ грубых ошибок

Одним из условий получения наиболее достоверных выво­ дов является однородность эмпирического материала, которая

заключается,в частности,в том, что среди результатов отсут­ ствуют грубые ошибки. Последние могут появлятися, напримзр, вследствие сбоя в работе экспериментального оборудования.

Поэтому все грубые ошибки должны быть выявлены и исключены из рассмотрения.

Однако здесь исследователя подстерегает, пожалуй, одна из самых коварных ошибок, которые он может совершить

в овоей работе. Это происходит, когда желаемое принимается

за действительное. Не случайно весьма распространено мне­

ние, что из статистического материала можно получить любой результат. Предвзятое отсеивание материала, подчао подстре­

каемое затаенным желанием экспериментатора сделать оеноа-

ционное открытие, неоднократно являлось причиной глубочайших

научных конфузов.

Сложность анализа грубых ошибок заключается.в,казалось бы,парадоксальном выводе, что чем больше объем выборки,

тем с большей вероятностью

следует ожидать резких "выбросов".

Действительно,

если

вероятность отклонения

| ^ - ^ | < Д

равна ^0

, где

^

-

один

из результатов,

- ге ­

неральное среднее, т . е .

 

 

 

 

 

Р(\уГ%\< А ) *

р >

( І 8 . І )

то вероятность того, что все П, измерений будут откло-

 

 

 

 

 

 

 

п-

няться от

р

не более,

чем на

А

, равна

р .

И как бы близка

к единице

ни была

величина

уО ,

при

П—ос

эта

вероятность

стремится к

нулю,

т . е .

 

 

Pl^mc*-?^

Л ) =

 

 

>

(18.2)

где и

- максимальное

среди

наблюдаемых

значений в

О max

 

 

 

 

 

 

 

данной выборке. Таким образом, появление больших отклоне­ ний - не аномальность, а статистическая закономерность.

Поэтому статистический критерий отбрасывания грубых ошибок (резких выбросов) строится с учетом этой особенности всей совокупности наблюдений. Если для отдельного наблюде­ ния

то согласно (18. 2 )

воли пЫ « 1.

 

 

Полагая далее, что максимальное отклонение

в выборке

может превышать некоторое предельно допустимое

А , _ £

с

вероятностью не более Є , имеем

 

 

Отсюда

 

PflVmo.-?!

 

 

 

 

1-Є

,

(18.5)

г Д в

^1 ~ є/п. к в а н

т и л ь »

 

определяющая границу

критичвоков

области отклонений для отдельных наблюдений.

 

 

 

 

Следовательно, когда оказывается, что максимальное

отклонение

в выборке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

? I »

61-у,и

*

 

 

(18.6)

то

с уровнем

значимости

 

в

такое

отклонение

может быть

забраковано

как ошибочное.

 

 

 

 

 

 

 

Квантили

д„

є/

 

вычисляются, исходя

из распределе-

 

 

 

1

~ /к

 

 

 

 

 

 

 

ний случайной

величины

 

у

. Боли среднее

значение

р

и диоперсия

 

€Г

известны,

то для нормально

распределен­

ных величин амплитуда предельного допустимого отклонения

•равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т°*

1-

%_

 

 

(18.7)

где

Мнквантили

 

 

нормированного

распределения.

 

Однако

обычно

сравнивают U

 

с выборочным

сред-

 

 

 

 

 

 

 

С

tnox

 

 

 

 

ним

о

,

располагая

лишь выборочной

оценкой дисперсии

Є. В этом случае границу критической области следует

сдвинуть в область больших значений (дань неопределенности

в знании

р и б " ) :

Смотрите также файлы